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Mathématiques 2003 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.
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ECRICOME 2003 option ECONOMIQUE EXERCICE 1 3 Onconsid`erelespacevectorielE=Retfl’endomorphisme deEdont la matrice dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3) est la matriceA:   32 3   A= 10 2 0 02 1. Calculdes puissances deA 1.imentere´Dseroprurspvalerlesλ1etλ2de l’endomorphismef, avecλ1< λ2 1 2.La matriceAest-elle inversible ?(On ne demande pas la matriceA). 3.ealteesaboisnemideretD´nerunemicasee-pserdsrppohacundecsousndesf. 4.Justifier quefn’est pas diagonalisable. −→ 5.ecteurminerlev´Dtereu1deE:tnaire´v −→ u1est un vecteur propre defropreeurpavale`alco´iassλ1 −→ laprerecemi`astnmoopdeeu1est l. −→ 6.D´nemieretetcevelrruu2deEv´eriant: −→ u2est un vecteur propre defssaieocla`aelavrpruerpoλ2 −→ pmsoemocixe`dauedealnteu2est l. 7.Soitu3= (1,1,1). MontrerqueC= (u1, u2, u3) est une basedeE. 8.malrirtareteenimeagD´decesspaPde la la baseBdans la baseCpuis la matrice de passage de la baseCbasa`laeB. 9.Montrer que :f(u3) =u2+ 2u3 10.cideednE´eduirequelamatrfdans la baseCest la matrice:   1 0 0   T2 1= 0 0 0 2 11.Rappeler la relation matricielle entreAetT. 12.uttol´´euerqurporPevuomenetndeNllixesiteunr´eeαntel que :   1 00 n n   T= 02αn n 0 02 Ondonneralere´elα1ainsi qu’une relation entreαn+1etαn ECRICOME 2003 EcoPage 1/ 5
13.Montrer que : n1 nN, αn=n2 n End´eduirele´criturematricielledeAen fonction den. 2. Matricescommutant avecA. M3(Rtlensem´esignand)dror,oe3´errdescirtacsedelbamselesembs-enseuoreleis`dcnnoC(A) de M3(R) des matricesMtelles que : AM=M A 1.Montrer queC(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R) 0 −1 2.PourM`anatppraetanM3(R) on poseM=P MP. Montrer que : 0 0 AM=M A⇐⇒T M=M T (Tnoiqalstseuts´dedenaein1.10) 0 00 0 3.Montrer qu’une matriceMdeM3(R))v´erieT M=M Tsi et seulement siMest de la   a0 0   forme 0b c`oua, b,cels.sr´etroisont 0 0b 4.d´edEnqueuireMtreipaaptna`C(Adetsixelslee´rseulseetsiiitsenem)a, b, ctels que :   a+ 2b2a2ba+b+ 2c   M=a+b2aba+b+c 0 0b 5.Dete´nimresedenabrousrelaC(A) ainsi que la dimension deC(A). EXERCICE 2 Onconsid`erelesfonctionschetshniessurd´eRpar : xx xx e+e ee ch(x) =sh(x) = 2 2 ainsi que la fonctionfine´druseRpar : ( x f(xsi) =x6= 0 sh(x) f(0) = 1 Onsint´eressedanscetexercicea`laconvergencedelasuite(unednoitalera)de´neiaplr nN re´currence: u0= 1 nNun+1=f(un) 1. Etudedes fonctionsch,sh, etf. 1.utEreiditnosesedncfopalat´richetsh. 2.Dresser le tableau de variations de la fonctionshp,iuesdnigesdenedu´eelirsh(x) pourx appartenant`aR.
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3.ivqu´eunerinrmteDe´+netneladesh(x´)rseneatitevededuracelrboueperdnE.ude´lerillala fonctionshen +. 4.Montrer que la fonctionshreuisal´eejtcenibeoidnRdansR 5.Etudier les variations de la fonctionch. 6.Montrer que : xR, ch(x)> sh(x) 7.noensrruDsntcoifsnoseedativsentpr´eesrebruocsederullalueiqphraegemm´unchetsh. 8.Enoirealutidt´edparionctelaff. 9.tnilim´tdeodrer3en0delafontionDnimrete´evd´leermepeopelsh. 0 10.dnEude´qerilauencfoontifest continue en 0,d´ererinrme´ete0dtelnevibaf(0). ∗ ∗0 ∗ 11.Justifier quefsurerivable´dtseRet surRet calculerf(x) pourxR +12.On pose : + xR, h(x) =shxxch(x) Etudier les variations dehsignreleedeupsi,deiune´dh(x). + 13.arsvtiiasdoneDete´nimrelrefsurRladevetitaenesr´uredelacourberepedtnoenlrall fonctionfne cherchera pas les points d’inflexion).. (On 2. Etudede la suite(un). nN On donne :
f(0.8)'0.9, f(1)'0.85, sh(0.6)'0.64, sh(0.8)'0.89, sh(1)'1.18, sh(1.2)'1.51 1.Justifier quef([0.8,1])[0.8,1], puis que : nN, un[0.8,1] 2.auqe´leuqrertnoMontif(x) =xadmet une unique solutionαsurR(on pourra utiliser la question1.4,termad´einersnasrehc`ehcα). 3.Donner um encadrement deαet justifier que : h(1)h(0.8) 0 x[0.8,1],f(x)2 2 sh(0.8)sh(1) 4.On donne : h(1)h(0.8) ' −0.47 et' −0.13 2 2 sh(0.8)sh(1) Montrer que : nN,|un+1α| ≤0.5|unα| Puis que : n nN,|unα| ≤0.2 (0.5)
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5.laleriude´dnEasuite(imitedelun) quandntend vers +. 6.Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de calculer et d’afficheru10 EXERCICE 3 Sousdiverseshypothe`ses,lexercice´etudiedi´erentessituationsprobabilistesconcernantuneen-treprisedeconstructionproduisantdesobjetssurdeuxchaıˆnesdemontageAetBqui fonctionnent ind´ependemmentlunedelautre. Pourunechaˆınedonn´ee,lesfabricationsdespie`cessontinde´pendantes. Partie 1. On suppose queAproduit 60% des objets etBprLas.etbjsode0%4tiudorpjbteobabilit´equuno construit par la chaineAtcefxueu0tseois´etd.la1trnscoettuioprutie´onjbuquuelaorsqabilprob par la chaineBs0teefuet´csdetxiuo.2. 1.teceuqetatsnocnOsttejeoblasaroitnuboej`treprise.edelentOhaaurdsahoncitis de´fectueux.Calculerlaprobabilit´edel´eve´nementlobjetprovientdelachaˆıneA. 2.On suppose de plus que le nombre d’objets produits en une heure parAest une variable al´eatoireYetreram`depassnoPeiosoildiiuutueqnλ= 20. Onconside`relavariableale´atoireXobjetsdenombredestnnalterrpe´patsrrpxuiudoefe´eutc la chaˆıneAen une heure. a)Rappeler la loi deYiasnvariancedenare´psealedteecvalaueiqldeurleY. b)Soientketnennoitidneodcxeu´nteiiltellimrelrenorpaibabsnerurats,eletd´P[X=k/Y=n]. (On distinguera les casknetk > n). c)une,ilitde´deriu`estcomentsasylevee´enempmeldt´Ennts(Y=i),queXsuit une loi iN dePoissondeparame`tre2. Partie 2. Soitfurlaitnoofcninse´deRpar : 2 f(tsi) =t0 3 (1 +t) f(t) = 0sit <0 1.Montrer quefuedvaneabrialletae´erioetsnudeneis´tZ 2.Dete´rminerlafonctioned´rperaititnoFZdeZ. 3.Julaeristegrevnociledecngralnt´ee: Z +2t dt 3 0(1 +t) La calculer en effectuant le changement de variableu=t+ 1. 4.Prouver queZte´dalteecnare´pr.nemiermetuneesad 5.Zadmet-elle une variance ?
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