Mathématiques 2003 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 162
• Langue: Français

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ECRICOME 2003 option ECONOMIQUE EXERCICE 1 3 Onconsid`erel’espacevectorielE=Retfl’endomorphisme deEdont la matrice dans la base −→−→−→ canoniqueB= (e 1 , e 2 , e 3 ) est la matriceA:   3−2 3   A = 10 2 0 02 1. Calculdes puissances deA 1.imentere´Dseroprurspvalerlesλ 1 etλ 2 de l’endomorphismef, avecλ 1 < λ 2 −1 2.La matriceAest-elle inversible ?(On ne demande pas la matriceA). 3.ealteesaboisnemideretD´nerunemicasee-pserdsrppohacundecsousndesf. 4.Justifier quefn’est pas diagonalisable. −→ 5.ecteurminerlev´Dtereu 1 deE:tnafiire´v −→ •u 1 est un vecteur propre defropreeurpavale`alco´iassλ 1 −→ •laprerecemi`astnmoopdeeu 1 est l. −→ 6.D´nemieretetcevelrruu 2 deEv´erifiant: −→ •u 2 est un vecteur propre defssaieocla`aelavrpruerpoλ 2 −→ •pmsoemocixe`dauedealnteu 2 est l. −→−→−→−→ 7.Soitu 3 = (1,1,1). MontrerqueC= (u 1 , u 2 , u 3 ) est une basedeE. 8.malrirtareteenimeagD´decesspaPde la la baseBdans la baseCpuis la matrice de passage de la baseCbasa`laeB. −→−→−→ 9.Montrer que :f(u 3 ) =u 2 + 2u 3 10.cideednE´eduirequelamatrfdans la baseCest la matrice:   1 0 0   T 2 1= 0 0 0 2 11.Rappeler la relation matricielle entreAetT. ∗ 12.uttol´´euerqurporPevuomenetndeNllixesiteunr´eeα n tel que :   1 00 n n   T = 02α n n 0 02 Ondonneralere´elα 1 ainsi qu’une relation entreα n+1 etα n ECRICOME 2003 EcoPage 1/ 5

13.Montrer que : ∗n−1 ∀n∈N, α n =n2 n End´eduirel’e´criturematricielledeAen fonction den. 2. Matricescommutant avecA. M 3 (Rtl’ensem´esignand)dror,oe3´errd’escirtacsedelbamselesembs-enseuoreleis`dcnnoC(A) de M 3 (R) des matricesMtelles que : AM=M A 1.Montrer queC(A) est un sous-espace vectoriel deM 3 (R) 0 −1 2.PourM`anatppraetanM 3 (R) on poseM=P MP. Montrer que : 0 0 AM=M A⇐⇒T M=M T (Tnoiqalstseuts´dedenafiein1.10) 0 00 0 3.Montrer qu’une matriceMdeM 3 (R))v´erifieT M=M Tsi et seulement siMest de la   a0 0   forme 0b c `oua, b,cels.sr´etroisont 0 0b 4.d´edEnqueuireMtreipaaptna`C(Adetsixelslee´rseulseetsiiitsenem)a, b, ctels que :   −a+ 2b2a−2b−a+b+ 2c   M= −a+b2a−b−a+b+c 0 0b 5.Dete´nimresedenabrousrelaC(A) ainsi que la dimension deC(A). EXERCICE 2 Onconsid`erelesfonctionschetshfiniessurd´eRpar : x−x x−x e+e e−e ch(x) =sh(x) = 2 2 ainsi que la fonctionfinfie´druseRpar : ( x f(xsi) =x6= 0 sh(x) f(0) = 1 Ons’int´eressedanscetexercicea`laconvergencedelasuite(u n ednoitalera)de´nfieiaplr n∈N re´currence:  u 0 = 1 ∀n∈Nu n+1 =f(u n ) 1. Etudedes fonctionsch,sh, etf. 1.utEreiditnosesedncfopalat´richetsh. 2.Dresser le tableau de variations de la fonctionshp,iuesdnigesdenedu´eelirsh(x) pourx appartenant`aR.

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3.ivqu´eunerinrmteDe´+netnela∞desh(x´)rseneatitevededuracelrboueperdnE.ude´lerilla’ la fonctionshen +∞. 4.Montrer que la fonctionshreuisal´eejtcenibeoidnRdansR 5.Etudier les variations de la fonctionch. 6.Montrer que : ∀x∈R, ch(x)> sh(x) 7.noensrruDsntcoifsnoseedativsentpr´eesrebruocsederulla’lueiqphraegemm´unchetsh. 8.Enoirealutidt´edparionctelaff. 9.tnilim´tdeo’drer3en0delafontionDnimrete´evd´leermepeopelsh. 0 10.dnEude´qerilauencfoontifest continue en 0,d´ererinrme´ete0dtelnevibaf(0). ∗ ∗0 ∗ 11.Justifier quefsurerivable´dtseRet surRet calculerf(x) pourx∈R +− 12.On pose : + ∀x∈R, h(x) =shx−xch(x) Etudier les variations dehsignreleedeupsi,deiune´dh(x). + 13.arsvtiiasdoneDete´nimrelrefsurRladevetitaenesr´uredelacourberepedtnoenlra’ll fonctionfne cherchera pas les points d’inflexion).. (On 2. Etudede la suite(u n ). n∈N On donne :

f(0.8)'0.9, f(1)'0.85, sh(0.6)'0.64, sh(0.8)'0.89, sh(1)'1.18, sh(1.2)'1.51 1.Justifier quef([0.8,1])⊂[0.8,1], puis que : ∀n∈N, u n ∈[0.8,1] 2.auqe´’leuqrertnoMontif(x) =xadmet une unique solutionαsurR(on pourra utiliser la question1.4,termad´einersnasrehc`ehcα). 3.Donner um encadrement deαet justifier que : h(1)h(0.8) 0 ∀x∈[0.8,1],≤f(x)≤ 2 2 sh(0.8)sh(1) 4.On donne : h(1)h(0.8) ' −0.47 et' −0.13 2 2 sh(0.8)sh(1) Montrer que : ∀n∈N,|u n+1 −α| ≤0.5|u n −α| Puis que : n ∀n∈N,|u n −α| ≤0.2 (0.5)

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5.laleriude´dnEasuite(imitedelu n ) quandntend vers +∞. 6.Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de calculer et d’afficheru 10 EXERCICE 3 Sousdiverseshypothe`ses,l’exercice´etudiediff´erentessituationsprobabilistesconcernantuneen- treprisedeconstructionproduisantdesobjetssurdeuxchaıˆnesdemontageAetBqui fonctionnent ind´ependemmentl’unedel’autre. Pourunechaˆınedonn´ee,lesfabricationsdespie`cessontinde´pendantes. Partie 1. On suppose queAproduit 60% des objets etBprLas.etbjsode0%4tiudorpjbteobabilit´equ’uno construit par la chaineAtcefxueu0tseois´etd.la1trnscoettuioprutie´onjbuqu’uelaorsqabilprob par la chaineBs0teefuet´csdetxiuo.2. 1.teceuqetatsnocnOsttejeoblasaroitnuboej`treprise.edel’entOhaaurdsahoncitis de´fectueux.Calculerlaprobabilit´edel’´eve´nement“l’objetprovientdelachaˆıneA“. 2.On suppose de plus que le nombre d’objets produits en une heure parAest une variable al´eatoireYetreram`depassnoPeiosoildiiuutueqnλ= 20. Onconside`relavariableale´atoireX’objetsdenombredestnnalterrpe´patsrrpxuiudoefe´eutc la chaˆıneAen une heure. a)Rappeler la loi deYiasnvariancedenare´psealedteecvalaueiql’deurleY. b)Soientketnennoitidneodcxeu´nteiiltellimrelrenorpaibabsnerurats,eletd´P[X=k/Y=n]. (On distinguera les cask≤netk > n). c)une,ilitde´deriu`estcomentsasylevee´enempmeldt´’Ennts(Y=i),queXsuit une loi i∈N dePoissondeparame`tre2. Partie 2. Soitfurlaitnoofcninse´dfieRpar :  2  f(tsi) =t≥0 3 (1 +t)  f(t) = 0sit <0 1.Montrer quef’uedvaneabrialletae´erioetsnudeneis´tZ 2.Dete´rminerlafonctioned´rperaititnoF Z deZ. 3.Julaerifistegrevnoci’ledecngralnt´ee: Z +∞ 2t dt 3 0 (1 +t) La calculer en effectuant le changement de variableu=t+ 1. 4.Prouver queZte´dalteecnare´pr.nemiermetuneesad 5.Zadmet-elle une variance ?

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