Ecricome 2003, option S. EXERCICE 1 Onconsid`erelasuitedenombresre´els(un)n∈Nniepd´efieralraaled´ritnoncreurece: 2 un+u un+1=n ∗ u0=a, a∈R+ Partie 1Convergence de(un)n∈N 1)Montrer que cette suite est strictement positive et monotone. 2)Montrer que cette suite diverge vers l’infini. Partie 2Comportement asymptotique de(un)n∈N 1 Ond´efinitlasuite(vn)n∈Npar :vn= lnun n 2 1 1 1)Prouver que pour tout entierndeN:vn+1−vn+ ).= ln(1 n+1 2un Ende´duirequequelsquesoientlesentiersnaturelspetn: 1 1 0< vn+p+1−vn+p6)ln(1 + n+p+1 2un 2)ueeqqureuiedd´Ensurelsnattierseneneltseiosluqketn 1 1 0< vn+k+1−vn6)ln(1 + n 2un 3)uerqrente(itsulae´omDvn)n∈Nnoteeet´see´rojamte,puisqu’elleconevgrvereusenilimα. n 4)Montrer que :∀n∈N, un6exp(α2 ) Enpassant`alalimitepournerdacne’lsnade´xrqrentmo2,2.ntmeeu:fi n ∀n∈N,exp(α2 )6un+ 1 End´eduire,lorsquendnetsrev´el’ivquinl’i,finuitsenal:ntva n un∼exp(α2 ) n→+∞ n 5)On pose :βn= exp(α2 )−un. Montrer que la suite (βn)n∈Nusvinaet:´erifielarelation´nroteeee’uqvelltbes 2n β+β 2βn−1 = (n+1n−βn) exp(−α2 ) 1 n 6)Prouver enfin que lorsquentend vers l’infini :un=−+ exp(α+ o(1)2 ) 2 EXERCICE 2 Dans cet exercice,ni,eertnoantaudroeglnneuonnennutlatidtneo´sisstpleseon:vauiesnt Mn(Rordresd’rr´eescae:e)amsecirtmesndelbns.el´etnrscffieicaeo`, Sn(R) : le sous-espace vectoriel deMn(R.d)seamrticessym´etriques An(R) : le sous-espace vectoriel deMn(Redms)ecastairym´entisues.triq t t On rappelle qu’une matriceAdeMn(Riseetm´quri)aenstsytiA=−A,A´natecetlamatri transpose´edeA. Onde´finitlesapplicationstretϕpar : n X t Pour toute matriceA= (ai,j) etBdeMn(R),tr(A) =ai,i, ϕ(A, B) = tr(AB) 16i6n 16j6n i=1 1)´nilnoitederiaeetrestuneapplicaMnortreuqMn(R) dansRfii:eerv´uiq ∀A∈ Mn(R),∀ ∈ Mn(R),tr(AB) = tr(BA) 2)Prouver que tr est surjective. Donner la dimension du noyau de tr.
3)Prouver queϕ,´ieessocrmealanodontlacseriaorpntiudefid´tuni||.||e´irv,:fie n n X X 2 2 ∀A= (ai,j)∈ Mn(R),||A||=a 16i6n i,j 16j6n i=1j=1 √ 4)Etablir que :∀A∈ Mn(R),|tr(A)|6n||A|| 5)uqertreD´onemSn(R) etAn(Rontd)sous-euxssoreaintnagohortssecapseeme´lppudeux Mn(R) pourϕ. 6)SoitM= (mi,jeictr)End´edui.truoetameruqpeuoA= (ai,j) deMn(R), 16i6n16i6n 16j6n16j6n n nn n X XX X 1 2 2 min (ai,j−mi,j) existe(et vautai,j−aj,i) M∈Sn(R)4 i=1j=1i=1j=1
` PROBLEME
On rappelle que : Z +∞ x−1 •seΓnoitctcnofaltfin´endiourpoieLafonx >0 par Γ(x) =texp(−t) dt. 0 •SiXsuit une loi normale et siαeenlnu´retsrslolanuonαXiolenutnemelage´itsunormale. 1√ On admettra que Γ() =π. 2
Partie 1 n X 2 Onconside`relavariableale´a toireYn=Xio`uX1, X2, . . . , Xnsontnesirtoeairav´laselba k=1 inde´pendantes,suivanttoutesuneloinormalecentre´ere´duite. 2 1)pa´eeertnDd´imoicetrornlanfenoititrFY1deY1=X. 1 2)ireq´eduEndeuY1ciseralentonpr´esreoiisqualleat´emagiodamutiuolenirbaenavseut parame`tres. n 3)Justifier queYnrtsemae`tius2(gaoielunarepadmm,). 2 4)ledspse’are´ecnnerlDonleuresvaE(Yn) et de la varianceV(Yn) deYn. 2 5)On dit alors queYnsuit une loi duChi-deux`an´treon,eee´tdegr´esdelibχ(n). SoientGned´ritnoititperaondelancfoYnetβni’lsnadellavret]0´eelunr,1[. 2 Montrerqu’ilexisteunr´eeluniquettel queGn(t) =βleeealst.r´Censroe´toχ(n). β
Danslasuiteduprobl`emeonconsid`ereunesuite(Xi)i>1ae´laselbairavedriotumseleut-el mentind´ependantessuivantunemeˆmeloinormaleN(m, σ). L’objet des questions suivantes estdede´termineruneestimationponctuelle(partie2)puisuneestimationparintervallede 2 confiance (parties 3 et 4) de la varianceσ.
Sigest une fonction denstisee,eellesr´iablvarZn=g(X1, . . . , Xn), on rappelle que : •gest un estimateur deθ(Znest un estimateur deθ) lorsquelimE(Zn) =θ. n→+∞ •L’estimateurZnest dit sans biais lorsque pour toutnentier naturel non nul :E(Zn) =θ •L’estimateurZnlimest dit convergent lorsque :V(Zn) = 0 n→+∞ 2
2 Partie 2Estimation ponctuelle deσ.
n n X X 1 1 2 Pournentier naturel non nul, on pose :Fn=Xi, Vn= (Xi−Fn) n n i=1i=1 1)Montrer que (Fn)n>1est un estimateur convergent sans biais dem. 2)Soitnun entier naturel non nul. !2 n n X X 1 1 2 a)=X De´montrerque:Vn i−Xi n n i=1i=1 n X 1 2 2 puis que :Vn= (Xi−m)−(Fn−m) n i=1 n−1 2 b)Prouver que :E(Vn) =σ n 2 c)reuneduiEnd´senibiraudassametseitσ.
2 Partie 3Estimation par intervalle de confiance deσ,me´ue.nncontta Pournp´erieur`a2,onpo:esneitreus n n X X 1 1 2 2 Un= (Xi−m) etTn= (Xi−m) 2 σ n i=1i=1 1)Justifier queUnsuit une loi duChi-deuxa`n.e´trebiledse´rgde 2)Soitα∈]0,gelatie´tnerlr´’1[.Momenes:nts´de´eev " # h i nT n2nTn2 2 6σ6etχ(n)6Un6χ(n) α α 1− 2 22 2 χ(n)χ(n) α α 1− 2 2 " # T nTn2nn End´eduirequelaprobabilit´edel’´eve´nement6σ6est 1−α. 2 2 χα(n)χα(n) 1− 2 2
2 Partie 4Estimation par intervalle de confiance deσ,me.onnutincetan´
Mn,1(Rmaesictremnsedbla`selee’isngd)e´nesenoc1tgiloefficientlonne`actrse´leesIdR n n l’identite´deR. Pournsup´erieentieresop:a`runo,2 n nn X XX 1 11 2 2 Mn=Xi, Sn= (Xi−Mn), Un= (Xi−Mn) 2 n n−1σ i=1i=1i=1 n 1)Soitϕl’endomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique estAefid´epni:ar ai,i=n−1 A= (ai,j) avec 16i6n 16j6nai,j=−1 sii6=j etBla matrice deMn,1(R´selsuottneme´lentdo)`xua.1anossge´t a)Justifier queAest une matrice diagonalisable. b)Calculer le produitABe,edpoerrurplevaneeuirdu´endAet un vecteur propre deAocssaei´ `acettevaleurpropre. c)dim Im(Montrer que :ϕ−nIdR) = 1 n d)dilareuindionsme(reKenE´ddeϕ−nIdR), les valeurs propres et les sous-espaces propres n de la matriceA.