Mathématiques 2003 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 220
• Langue: Français

Extrait

Ecricome 2003, option S. EXERCICE 1 Onconsid`erelasuitedenombresre´els(u n ) n∈N niepd´efieralraaled´ritnoncreurece:  2 u n +u u n+1 = n ∗ u 0 =a, a∈R + Partie 1Convergence de(u n ) n∈N 1)Montrer que cette suite est strictement positive et monotone. 2)Montrer que cette suite diverge vers l’infini. Partie 2Comportement asymptotique de(u n ) n∈N 1 Ond´efinitlasuite(v n ) n∈N par :v n = lnu n n 2 1 1 1)Prouver que pour tout entierndeN:v n+1 −v n + ).= ln(1 n+1 2u n Ende´duirequequelsquesoientlesentiersnaturelspetn: 1 1 0< v n+p+1 −v n+p 6)ln(1 + n+p+1 2u n 2)ueeqqureuiedd´Ensurelsnattierseneneltseiosluqketn 1 1 0< v n+k+1 −v n 6)ln(1 + n 2u n 3)uerqrente(itsulae´omDv n ) n∈N noteeet´see´rojamte,puisqu’elleconevgrvereusenilimα. n 4)Montrer que :∀n∈N, u n 6exp(α2 ) Enpassant`alalimitepournerdacne’lsnade´xrqrentmo2,2.ntmeeu:fi n ∀n∈N,exp(α2 )6u n + 1 End´eduire,lorsquendnetsrev´el’ivquinl’i,finuitsenal:ntva n u n ∼exp(α2 ) n→+∞ n 5)On pose :β n = exp(α2 )−u n . Montrer que la suite (β n ) n∈N usvinaet:´erifielarelation´nroteeee’uqvelltbes 2n β+β 2β n −1 = ( n+1 n −β n ) exp(−α2 ) 1 n 6)Prouver enfin que lorsquentend vers l’infini :u n =−+ exp(α + o(1) 2 ) 2 EXERCICE 2 Dans cet exercice,ni,eertnoantaudroeglnneuonnennutlatidtneo´sisstpleseon:vauiesnt M n (Rordresd’rr´eescae:e)amsecirtmesndelbns.el´etnrscffieicaeo`, S n (R) : le sous-espace vectoriel deM n (R.d)seamrticessym´etriques A n (R) : le sous-espace vectoriel deM n (Redms)ecastairym´entisues.triq t t On rappelle qu’une matriceAdeM n (Riseetm´quri)aenstsytiA=−A,A´natecetlamatri transpose´edeA. Onde´finitlesapplicationstretϕpar : n X t Pour toute matriceA= (a i,j ) etBdeM n (R),tr(A) =a i,i , ϕ(A, B) = tr(AB) 16i6n 16j6n i=1 1)´nilnoitederiaeetrestuneapplicaMnortreuqM n (R) dansRfii:eerv´uiq ∀A∈ M n (R),∀ ∈ M n (R),tr(AB) = tr(BA) 2)Prouver que tr est surjective. Donner la dimension du noyau de tr.

3)Prouver queϕ,´ieessocrmealanodontlacseriaorpntiudefid´tuni||.||e´irv,:fie n n X X 2 2 ∀A= (a i,j )∈ M n (R),||A||=a 16i6n i,j 16j6n i=1j=1 √ 4)Etablir que :∀A∈ M n (R),|tr(A)|6n||A|| 5)uqertreD´onemS n (R) etA n (Rontd)sous-euxssoreaintnagohortssecapseeme´lppudeux M n (R) pourϕ. 6)SoitM= (m i,j eictr)End´edui.truoetameruqpeuoA= (a i,j ) deM n (R), 16i6n16i6n 16j6n16j6n n nn n X XX X 1 2 2 min (a i,j −m i,j ) existe(et vauta i,j −a j,i ) M∈S n (R) 4 i=1j=1i=1j=1

` PROBLEME

On rappelle que : Z +∞ x−1 •seΓnoitctcnofaltfin´endiourpoieLafonx >0 par Γ(x) =texp(−t) dt. 0 •SiXsuit une loi normale et siαeenlnu´retsrslolanuonαXiolenutnemelage´itsunormale. 1 √ On admettra que Γ() =π. 2

Partie 1 n X 2 Onconside`relavariableale´a toireY n =X i o`uX 1 , X 2 , . . . , X n sontnesirtoeairav´laselba k=1 inde´pendantes,suivanttoutesuneloinormalecentre´ere´duite. 2 1)pa´eeertnDd´imoicetrornlanfenoititrF Y 1 deY 1 =X. 1 2)ireq´eduEndeuY 1 ciseralentonpr´esreoiisqualleat´emagiodamutiuolenirbaenavseut parame`tres. n 3)Justifier queY n rtsemae`tius2(gaoielunarepadmm,). 2 4)ledspse’are´ecnnerlDonleuresvaE(Y n ) et de la varianceV(Y n ) deY n . 2 5)On dit alors queY n suit une loi duChi-deux`an´treon,eee´tdegr´esdelibχ(n). SoientG n ed´ritnoititperaondelancfoY n etβni’lsnadellavret]0´eelunr,1[. 2 Montrerqu’ilexisteunr´eeluniquettel queG n (t) =βleeealst.r´Censroe´toχ(n). β

Danslasuiteduprobl`emeonconsid`ereunesuite(X i ) i>1 ae´laselbairavedriotumseleut-el mentind´ependantessuivantunemeˆmeloinormaleN(m, σ). L’objet des questions suivantes estdede´termineruneestimationponctuelle(partie2)puisuneestimationparintervallede 2 confiance (parties 3 et 4) de la varianceσ.

Sigest une fonction denstisee,eellesr´iablvarZ n =g(X 1 , . . . , X n ), on rappelle que : •gest un estimateur deθ(Z n est un estimateur deθ) lorsquelimE(Z n ) =θ. n→+∞ •L’estimateurZ n est dit sans biais lorsque pour toutnentier naturel non nul :E(Z n ) =θ •L’estimateurZ n limest dit convergent lorsque :V(Z n ) = 0 n→+∞ 2

2 Partie 2Estimation ponctuelle deσ.

n n X X 1 1 2 Pournentier naturel non nul, on pose :F n =X i , V n = (X i −F n ) n n i=1i=1 1)Montrer que (F n ) n>1 est un estimateur convergent sans biais dem. 2)Soitnun entier naturel non nul.  ! 2 n n X X 1 1 2 a)=X De´montrerque:V n i −X i n n i=1i=1 n X 1 2 2 puis que :V n = (X i −m)−(F n −m) n i=1 n−1 2 b)Prouver que :E(V n ) =σ n 2 c)reuneduiEnd´senibiraudassametseitσ.

2 Partie 3Estimation par intervalle de confiance deσ,me´ue.nncontta Pournp´erieur`a2,onpo:esneitreus n n X X 1 1 2 2 U n = (X i −m) etT n = (X i −m) 2 σ n i=1i=1 1)Justifier queU n suit une loi duChi-deuxa`n.e´trebiledse´rgde 2)Soitα∈]0,gelatie´tnerlr´’1[.Momenes:nts´de´eev " # h i nT n 2 nT n 2 2 6σ6etχ(n)6U n 6χ(n) α α 1− 2 2 2 2 χ(n)χ(n) α α 1− 2 2 " # T nT n 2 n n End´eduirequelaprobabilit´edel’´eve´nement6σ6est 1−α. 2 2 χ α (n)χ α (n) 1− 2 2

2 Partie 4Estimation par intervalle de confiance deσ,me.onnutincetan´

M n,1 (Rmaesictremnsedbla`selee’isngd)e´nesenoc1tgiloefficientlonne`actrse´leesId R n n l’identite´deR. Pournsup´erieentieresop:a`runo,2 n nn X XX 1 11 2 2 M n =X i , S n = (X i −M n ), U n = (X i −M n ) 2 n n−1σ i=1i=1i=1 n 1)Soitϕl’endomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique estAefid´epni:ar  a i,i =n−1 A= (a i,j ) avec 16i6n 16j6n a i,j =−1 sii6=j etBla matrice deM n,1 (R´selsuottneme´lentdo)`xua.1anossge´t a)Justifier queAest une matrice diagonalisable. b)Calculer le produitABe,edpoerrurplevaneeuirdu´endAet un vecteur propre deAocssaei´ `acettevaleurpropre. c)dim Im(Montrer que :ϕ−nId R ) = 1 n d)dilareuindionsme(reKenE´ddeϕ−nId R ), les valeurs propres et les sous-espaces propres n de la matriceA.

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