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Mathematiques 2005 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Mathematiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathematiques 2005 sur Bankexam.fr.
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Mathématiques
Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les trois problèmes sont indépendants . La calculatrice personnelle est interdite. Problème 1 On considère l'équation différentielle sur: (E)Déterminer toutes les solutions réelles de l'équation différentielle
l intervalle Sur
 oneffectue dans (E) le changement de fonction
devient cette équation après ce changement?
. Que
se propose de montrer que (E) admet une unique solution développable en série entière On autour de l'origine, notée, et de déterminer cette série entière. On pose
a)Déterminer et
b)Pour donnerune relation de récurence entreet .[ On pensera à factoriser ] c)En déduireen fonction den. Déterminer le rayon de convergence de la série entière qui a pour somme.
à l'aide de fonctions "classiques". [ Indication: on déterminera dabord Exprimer lexpression de]
Déduire de ce qui précède lensemble des solutions de (E)
Déterminer les solutions de (E) admettant une limite à droite en 0.
-1-
-2-
, déduire de G la valeur de
 etdéterminer ce développement. [Indication: On à laide de]
hest maintenant un réel de l'intervalle
, déduire de A la valeur
Calculer .En déduire la valeur de
Partie 2
, la fonctiongest paire, de période
Que vaut(justifier ce résultat). En déduire la valeurde
En prenant
Trouver, grâce à la formule de Parseval, la valeur
En prenant
et déterminer ce développement.
Déterminer la série de Fourier defet montrer quelle converge. On note :
, déduire de D la valeur
En prenant
exprimera
à laide de.
, puis la valeur de
Déterminer la série de Fourier deget montrer quelle converge. On note :
Problème 2 Partie 1 Soithun réel fixé, élément de l'intervalleet la fonctionfpaire et de périodevérifiant :
Trouver, grâce à la formule de Parseval, la valeur de
vérifiant :
, et puis la valeur
Problème 3 désigne lensemble des matrices carrées de dimensionnà coefficients complexes. On dit quune matriceKest une matrice scalaire sil existe un nombre complexektel que où estla matrice de lidentité de On dit quune matriceAest une matrice scalaire.a la propriété de Dirac si On note tr(M) la trace de la matriceM, c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux. On note det(M) le déterminant de la matriceM. Partie 1 Dans cette partie, on considère les matrices de 1°) Montrer que. 2°) Montrer que si la matriceAa sa trace nulle alors la matriceApossède la propriété de Dirac. 3°) Montrer quune matriceAqui a la propriété de Dirac est une matrice dont la trace est nulle ou une matrice scalaire. 4°) Montrer que lensemble des matrices dedont la trace est nulle, ensemble noté, est un sous espace vectoriel deDonner la dimension de. .
5°) Soient les matrices :
a)Montrer que (J,K,L) est une base de, b)Si .Calculer enfonction dex,y,zet . Partie 2 Dans cette partie on considère les matrices de 1°) Montrer que siAest une matrice qui vérifie la propriété de Dirac avecnon nulle alors  a)Aest inversible.  b)vérifie aussi la propriété de Dirac  c)Ana au plus que deux valeurs propres. 2°) Montrer que siA,BetA+Bvérifient la propriété de Dirac alors la matriceAB+BAest scalaire.
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Partie 3 Dans cette partie on considère les matrices deet plus particulièrement les matrices:
et 1°) Calculer. Montrer que 2°) On considère le sous espace vectorieldes matrices de la forme. Montrer que toutes les matrices deont la propriété de Dirac.En déduire. 3°) Démontrer que sialors nécessairementest une valeur propre dene peut prendre que deux valeurs réelles que lon déterminera4°) a) Déterminer tous les sous espaces propres de la matrice. b)Donner une matriceinversible et une matriceDdiagonale telles que.
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