Mathematiques 2005 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

David

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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Mathematiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathematiques 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 juin 2008
• Nombre de lectures: 212
• Langue: Français

Extrait

Mathématiques

Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les trois problèmes sont indépendants . La calculatrice personnelle est interdite.   Problème 1  On considère l'équation différentielle sur: (E)  ➀ Déterminer toutes les solutions réelles de l'équation différentielle

➁ l intervalle Sur

 oneffectue dans (E) le changement de fonction

devient cette équation après ce changement?





. Que

➂ se propose de montrer que (E) admet une unique solution développable en série entière On autour de l'origine, notée, et de déterminer cette série entière. On pose

a)Déterminer et

b)Pour donnerune relation de récurence entreet .[ On pensera à factoriser ] c)En déduireen fonction den. ➃ Déterminer le rayon de convergence de la série entière qui a pour somme. 

➄ à l'aide de fonctions "classiques". [ Indication: on déterminera dabord Exprimer lexpression de] 

➅ Déduire de ce qui précède lensemble des solutions de (E)

⑦Déterminer les solutions de (E) admettant une limite à droite en 0.  

-1-

-2-

 

, déduire de G la valeur de

 etdéterminer ce développement. [Indication: On à laide de]

hest maintenant un réel de l'intervalle

, déduire de A la valeur

➁ Calculer .En déduire la valeur de

Partie 2

, la fonctiongest paire, de période



➂ Que vaut(justifier ce résultat). En déduire la valeurde

➃ En prenant

➄ Trouver, grâce à la formule de Parseval, la valeur

➅ En prenant

et déterminer ce développement.



➀ Déterminer la série de Fourier defet montrer quelle converge. On note :



, déduire de D la valeur

➂ En prenant

 exprimera

à laide de.



, puis la valeur de





➀ Déterminer la série de Fourier deget montrer quelle converge. On note :

Problème 2 Partie 1 Soithun réel fixé, élément de l'intervalleet la fonctionfpaire et de périodevérifiant :

➁ Trouver, grâce à la formule de Parseval, la valeur de

vérifiant :





, et puis la valeur



 Problème 3 désigne lensemble des matrices carrées de dimensionnà coefficients complexes. On dit quune matriceKest une matrice scalaire sil existe un nombre complexektel que où estla matrice de lidentité de On dit quune matriceAest une matrice scalaire.a la propriété de Dirac si On note tr(M) la trace de la matriceM, c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux. On note det(M) le déterminant de la matriceM. Partie 1 Dans cette partie, on considère les matrices de 1°) Montrer que. 2°) Montrer que si la matriceAa sa trace nulle alors la matriceApossède la propriété de Dirac. 3°) Montrer quune matriceAqui a la propriété de Dirac est une matrice dont la trace est nulle ou une matrice scalaire. 4°) Montrer que lensemble des matrices dedont la trace est nulle, ensemble noté, est un sous espace vectoriel deDonner la dimension de. .

5°) Soient les matrices :



a)Montrer que (J,K,L) est une base de,  b)Si .Calculer enfonction dex,y,zet . Partie 2  Dans cette partie on considère les matrices de 1°) Montrer que siAest une matrice qui vérifie la propriété de Dirac avecnon nulle alors  a)Aest inversible.  b)vérifie aussi la propriété de Dirac  c)Ana au plus que deux valeurs propres. 2°) Montrer que siA,BetA+Bvérifient la propriété de Dirac alors la matriceAB+BAest scalaire.

-3-

Partie 3 Dans cette partie on considère les matrices deet plus particulièrement les matrices:





et 1°) Calculer. Montrer que 2°) On considère le sous espace vectorieldes matrices de la forme. Montrer que toutes les matrices deont la propriété de Dirac.En déduire. 3°) Démontrer que sialors nécessairementest une valeur propre dene peut prendre que deux valeurs réelles que lon déterminera 4°) a) Déterminer tous les sous espaces propres de la matrice. b)Donner une matriceinversible et une matriceDdiagonale telles que. 

-4-