1 EXERCICE Onconsid`ere,pourtoutentiernatureln, l’applicationϕnrsunfieide´Rpar : n−2x ∀x∈R, ϕn(x) = (1−x)e ainsiquel’inte´grale: Z 1 In=ϕn(x)dx 0 Onseproposedede´montrerl’existencedetroisr´eels,a,b,ctels que : b c1 In=a+ ++ε(n) aveclimε(n) = 0 2 2 n→+∞ n nn 1. CalculerI0, I1. 2. Etudierla monotonie de la suite (In) . n∈N 3.De´terminerlesignedeInpour tout entier natureln 4.Qu’ende´duit-onpourlasuite(In) n∈N −2x 5. Majorerla fonctiong:x→esur [0,1] 6.Ende´duireque: 1 ∗ ∀n∈N,0≤In≤ n+ 1 7.De´terminerlalimitedelasuite(In) lorsquentend vers l’infini. n∈N 8.Al’aided’uneinte´grationparparties,montrerque: ∀n∈N,2In+1= 1−(n+ 1)In 9.End´eduirelalimitedelasuite(n In) lorsquentend vers l’infini. n∈N 10.De´terminerlalimitedelasuite(n(n In−1)) lorsquentend vers l’infini. n∈N 11. Donneralors les valeurs dea,b,c.
2 EXERCICE. Onconsid`erelafonctionf:rapeifin´ed +∗2 ∀x∈R, f(x) =x−xln (x)−1 f(0) =−1 le tableau de valeurs def, x0,5 11,5 2 2,5 3 3,5 4 f(x)−0,5 0 0,6 1,6 3 4,7 6,9 9,5 ainsi que les fonctionsϕetge´d:arspiefin 2 +∗2y x ∀x∈R, ϕ(x+ ln () =x),∀(x, y)∈R, g(x, y) =x e−y e x
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2.1Etudededeuxsuitesassoci´eesa`f. + 1. Montrerquefest continue surR. 2.Etudierlad´erivabilite´delafonctionforunnndei.nEnne0rpeteetr´oitaargnqihp.eu +∗ 3.Etudierlaconvexite´defsurRseesdrisbltaonrsraveduaeesnoitaiecisnpr´alimantltie,up def(x) lorsquextend vers l’infini. 4. Etudierla nature de la branche infinie. +∗ 5. Montrerquefejibenuesilae´rendioctRsur un intervalleJleo’uqera.ecisnpr´ −1−1 6. Quel est le sens de variation defe´Dte?rlnemiereditimalf(x) lorsquextend vers l’infini. 7. Justifierque pour tout entier naturelki,ixeluetsinune´leuqrexkpositif tel que : f(xk) =k a) Donnerla valeur dex0. b) Utiliserle tableau de valeurs def´eterminepourdmerddtnenureacnex1etx2. −1 c) Exprimerxkl’`adedeaifpuis justifier que la suite (xknemiarsstcr)enaetiossterete´d limite lorsquektend vers l’infini. 8.Ond´efinitlasuite(un) par : 2 u0= 3 ∀n∈N, un+1=ϕ(un)
+∗ a) Etudierles variations deϕsurR. 3 33 b) Ondonneϕ'1,73 etϕ(2)'1,que69. Montrerϕ ,2⊂,2 2 22 0 c)En´etudiantlesvariationsdeϕ, montrer que : 3 2 0 ∀x∈,2|ϕ(x)| ≤ 2 9 d)Montrerquelese´quationsx=ϕ(x) etf(xeltniuav´tqes1no)=lee´relueeqirdu´end.Ees x1´equation:qieuosulitnoed’lnu’ltse x=ϕ(x) e) Montrersuccessivement que pour tout entiern: 3 ≤un≤2 2 2 |un+1−x1|| ≤un−x1| 9 n 2 |un−x1| ≤ 9 f)End´eduirelalimitedelasuite(un).
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2.2Recherched’extremum´eventueldeg. 1.Calculerlesd´erive´espartiellespremi`eresdelafonctiong. 2 2. Montrerque sigadmet un extremum local en (a, b) deRalors : ( ab= 1 1 a− a=e a Ende´duirequen´ecessairement: a >0 ab= 1 f(a) = 0 etdoncqueleseulpointou`gpeut admettre un extremum est le couple (1,1) 3.Calculerlesr´eels: 2 22 ∂ g∂ g∂ g r= (1,1), s= (1,1), t= (1,1) 2 2 ∂x ∂x∂y∂y 2 4. Lafonctiongadmet-elle un extremum local surR?
3 EXERCICE Oneffectueunesuitedelancersd’unepie`cedemonnaie.Onsupposequelesr´esultatsdeslancers sontinde´pendantsetqu’`achaquelancer,lapi`ecedonnepileaveclaprobabilit´ep(0< p <1) et face aveclaprobabilite´q= 1−p. Ons’inte´ressedanscetexercicea`l’apparitiondedeuxpilesconse´cutifs. Pour tout entier naturelnnon nul, on noteAnsilapse´nosse´rtroutn“:led´x’uvee´enems´ecutifpilescon lapremi`erefoisauxlancersnum´eronetn+ 1“. Ond´efinitalorslasuite(anabobpresd)ilit´esdes´ev´enmenestAnpar : n∈N •Pour tout entier naturelnnon nul :an=p(An) •avec la conventiona0= 0
3.2 Equivalentdeanquandntend vers l’infini. 1.De´terminera1,a2eta3en fonction depetq. 2.Enremarquantquel’´eve´nementAn+2i:e´isteeslumenestesisal´etr •tn,omemedecrtir`apae,etiragonaobtenupilecefadeaui`uxetemrpuaeimeritr,egaAn estre´alise´ ou •mone,titdrceme,et`aparertirageimerpuaecafunetbaoonAn+1isal.´ees´etr montrer que l’on a, pour tout entier natureln, an+2−q an+1−p q an= 0 3. Ecrireun programme, en langage Pascal, permettant de calculeran, l’entiern´eels,elrspetq ´etantdonne´sparl’utilisateur. 4. Montrerque pour tout entier, natureln, 2 p n n = [r] an=2−r1 r2−r1 5.Donnerune´quivalentdeanlorsquentend vers plus l’infini.
3.3 Expressiondeanen fonction dene.lltrmaieicte´medohapenur Ond´efinitlesmatricesAetPpar : r1+r2−r1r2r1r2 A=, P= 1 01 1 ainsi que les matrices unicolonnesXnpar : an+1 Pour tout entier natureln:Xn= an 1.Ve´rifierquepourtoutentiernatureln: Xn+1=A Xn 2. Montrerque les matricesA−r1IetA−r2I(ne sont pas inversibles.Imatairece´isngledcarr´ee unit´ed’ordre2). 3.Ende´duirequeAest diagonalisable. −1 4. MontrerquePeebl´etdrmteerinersitinvesP. −1 5. Calculerla matriceD=P AP. (Lescoefficients de la matriceDonteonersse´mirpxitcnofne der2etr1seulement). 6.De´montrerparr´ecurrence,quepourtoutentiernatureln: n−1 Xn=P XP D0 7. Retrouverainsi l’expression deanen fonction der2,r1,Petn.