Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 81
• Langue: Français

Extrait

ECRICOME 2005 Option Economique

1 EXERCICE Onconsid`ere,pourtoutentiernatureln, l’applicationϕ n rsunfieide´Rpar : n −2x ∀x∈R, ϕ n (x) = (1−x)e ainsiquel’inte´grale: Z 1 I n =ϕ n (x)dx 0 Onseproposedede´montrerl’existencedetroisr´eels,a,b,ctels que : b c1 I n =a+ ++ε(n) aveclimε(n) = 0 2 2 n→+∞ n nn 1. CalculerI 0 , I 1 . 2. Etudierla monotonie de la suite (I n ) . n∈N 3.De´terminerlesignedeI n pour tout entier natureln 4.Qu’ende´duit-onpourlasuite(I n ) n∈N −2x 5. Majorerla fonctiong:x→esur [0,1] 6.Ende´duireque: 1 ∗ ∀n∈N,0≤I n ≤ n+ 1 7.De´terminerlalimitedelasuite(I n ) lorsquentend vers l’infini. n∈N 8.Al’aided’uneinte´grationparparties,montrerque: ∀n∈N,2I n+1 = 1−(n+ 1)I n 9.End´eduirelalimitedelasuite(n I n ) lorsquentend vers l’infini. n∈N 10.De´terminerlalimitedelasuite(n(n I n −1)) lorsquentend vers l’infini. n∈N 11. Donneralors les valeurs dea,b,c.

2 EXERCICE. Onconsid`erelafonctionf:rapeifin´ed  +∗2 ∀x∈R, f(x) =x−xln (x)−1 f(0) =−1 le tableau de valeurs def, x0,5 11,5 2 2,5 3 3,5 4 f(x)−0,5 0 0,6 1,6 3 4,7 6,9 9,5 ainsi que les fonctionsϕetge´d:arspiefin 2 +∗2y x ∀x∈R, ϕ(x+ ln () =x),∀(x, y)∈R, g(x, y) =x e−y e x

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2.1Etudededeuxsuitesassoci´eesa`f. + 1. Montrerquefest continue surR. 2.Etudierlad´erivabilite´delafonctionforunnndei.nEnne0rpeteetr´oitaargnqihp.eu +∗ 3.Etudierlaconvexite´defsurRseesdrisbltaonrsraveduaeesnoitaiecisnpr´alimantltie,up def(x) lorsquextend vers l’infini. 4. Etudierla nature de la branche infinie. +∗ 5. Montrerquefejibenuesilae´rendioctRsur un intervalleJleo’uqera.ecisnpr´ −1−1 6. Quel est le sens de variation defe´Dte?rlnemiereditimalf(x) lorsquextend vers l’infini. 7. Justifierque pour tout entier naturelki,ixeluetsinune´leuqrex k positif tel que : f(x k ) =k a) Donnerla valeur dex 0 . b) Utiliserle tableau de valeurs def´eterminepourdmerddtnenureacnex 1 etx 2 . −1 c) Exprimerx k l’`adedeaifpuis justifier que la suite (x k nemiarsstcr)enaetiossterete´d limite lorsquektend vers l’infini. 8.Ond´efinitlasuite(u n ) par :  2 u 0 = 3 ∀n∈N, u n+1 =ϕ(u n )

+∗ a) Etudierles variations deϕsurR.     3 33 b) Ondonneϕ'1,73 etϕ(2)'1,que69. Montrerϕ ,2⊂,2 2 22 0 c)En´etudiantlesvariationsdeϕ, montrer que :   3 2 0 ∀x∈,2|ϕ(x)| ≤ 2 9 d)Montrerquelese´quationsx=ϕ(x) etf(xeltniuav´tqes1no)=lee´relueeqirdu´end.Ees x 1 ´equation:qieuosulitnoed’lnu’ltse x=ϕ(x) e) Montrersuccessivement que pour tout entiern: 3 ≤u n ≤2 2 2 |u n+1 −x 1 || ≤u n −x 1 | 9   n 2 |u n −x 1 | ≤ 9 f)End´eduirelalimitedelasuite(u n ).

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2.2Recherched’extremum´eventueldeg. 1.Calculerlesd´erive´espartiellespremi`eresdelafonctiong. 2 2. Montrerque sigadmet un extremum local en (a, b) deRalors : ( ab= 1 1 a− a=e a Ende´duirequen´ecessairement:   a >0 ab= 1  f(a) = 0 etdoncqueleseulpointou`gpeut admettre un extremum est le couple (1,1) 3.Calculerlesr´eels: 2 22 ∂ g∂ g∂ g r= (1,1), s= (1,1), t= (1,1) 2 2 ∂x ∂x∂y∂y 2 4. Lafonctiongadmet-elle un extremum local surR?

3 EXERCICE Oneffectueunesuitedelancersd’unepie`cedemonnaie.Onsupposequelesr´esultatsdeslancers sontinde´pendantsetqu’`achaquelancer,lapi`ecedonnepileaveclaprobabilit´ep(0< p <1) et face aveclaprobabilite´q= 1−p. Ons’inte´ressedanscetexercicea`l’apparitiondedeuxpilesconse´cutifs. Pour tout entier naturelnnon nul, on noteA n silapse´nosse´rtroutn“:led´x’uvee´enems´ecutifpilescon lapremi`erefoisauxlancersnum´eronetn+ 1“. Ond´efinitalorslasuite(a n abobpresd)ilit´esdes´ev´enmenestA n par : n∈N •Pour tout entier naturelnnon nul :a n =p(A n ) •avec la conventiona 0 = 0

3.1Encadrementdesracinesdel’e´quationcaracte´ristique. Onconside`relafonctionpolynomialefbler´eelelavariadelx:rapeinfie´d 2 f(x) =x−q x−p q 1.Montrerquel’´equationf(x`edeposs)=0dselitsietcnsuxdecirasrneel´er 1 etr 2 (r 1 < r 2 ). Exprimerr 1 +r 2 , r 1 r 2 en fonction depetq. 2. Calculerf(1), f(−1), f(0). 3.End´eduirel’encadrementsuivant: |r 1 |<|r 2 |<1

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3.2 Equivalentdea n quandntend vers l’infini. 1.De´terminera 1 ,a 2 eta 3 en fonction depetq. 2.Enremarquantquel’´eve´nementA n+2 i:e´isteeslumenestesisal´etr •tn,omemedecrtir`apae,etiragonaobtenupilecefadeaui`uxetemrpuaeimeritr,egaA n estre´alise´ ou •mone,titdrceme,et`aparertirageimerpuaecafunetbaoonA n+1 isal.´ees´etr montrer que l’on a, pour tout entier natureln, a n+2 −q a n+1 −p q a n = 0 3. Ecrireun programme, en langage Pascal, permettant de calculera n , l’entiern´eels,elrspetq ´etantdonne´sparl’utilisateur. 4. Montrerque pour tout entier, natureln, 2 p n n = [r] a n = 2 −r 1 r 2 −r 1 5.Donnerune´quivalentdea n lorsquentend vers plus l’infini.

3.3 Expressiondea n en fonction dene.lltrmaieicte´medohapenur Ond´efinitlesmatricesAetPpar :    r 1 +r 2 −r 1 r 2 r 1 r 2 A=, P= 1 01 1 ainsi que les matrices unicolonnesX n par :   a n+1 Pour tout entier natureln:X n = a n 1.Ve´rifierquepourtoutentiernatureln: X n+1 =A X n 2. Montrerque les matricesA−r 1 IetA−r 2 I(ne sont pas inversibles.Imatairece´isngledcarr´ee unit´ed’ordre2). 3.Ende´duirequeAest diagonalisable. −1 4. MontrerquePeebl´etdrmteerinersitinvesP. −1 5. Calculerla matriceD=P AP. (Lescoefficients de la matriceDonteonersse´mirpxitcnofne der 2 etr 1 seulement). 6.De´montrerparr´ecurrence,quepourtoutentiernatureln: n−1 X n =P XP D 0 7. Retrouverainsi l’expression dea n en fonction der 2 ,r 1 ,Petn.

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