ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option technologique
MATHÉMATIQUES
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Lénoncé comporte 4 pages
Année 2006
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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EXERCICE 1 On se propose de déterminer par deux méthodes,les suites de réels(un)n2Net(vn)n2Nvériant les relations de récurrence:8 2 1 > < u=u+v n+1n n 3 2 Pour tout entier naturel n :avecu0= 1etv0= 1 1 1 > : vn+1=un+vn 3 2 1. Montrerpar récurrence que ,pour tout entier naturel n :un+vn= 2 2. Ondénit la suite(xn)n2Npar: 4 8n2N; xn=vn 5 (a) Utiliser la question qui précède pour montrer que la suite(xn)n2Nest une suite géométrique.En déterminer la raison. (b) ExprimerxnEn déduireen fonction de n.vnpuisunen fonction de n. (c) Montrerque les suites(un)n2Net(vn)n2Nsont convergentes vers des réels respectifsl1etl2à préciser. 3. Onconsidère les matrices à coe¢ cients réels B et C dénies par : 1 33 123 B=; C= 5 22 52 3 (a) Lesmatrices B et C sont elles inversibles ? (b) Montrerlexistence dune matrice carrée dordre 2,à coe¢ cients réels,notée A telle que pour tout entier naturel n : un+1un =A v v n+1n (c) Vérierque lon a : ( B+C=I 1 B+C=A 6 oùIdésigne la matrice unité dordre 2. 2 2 (d) Calculerles produits matricielsB,C,BC,CB. (e) Montrerpar récurrence que pour tout entier naturel n : n 1 unu0 =B+C vn6v0
(f) Retrouverainsi lexpression deunet devnen fonction de n . Vérier que lon a: l u 1 0 =B l2v0
EXERCICE 2 On dénit la suite(un)n2Npar:
( 3 u= 0 2 8n2N; un+1=f(un)
oùfest la fonction dénie sur lintervalle[1;+1[par :
1. Etudedes variations def 0 1. Déterminerla fonction dérivéefdef.
2. Dresserle tableau de variation defsur[1;+1[.
3. Donnerla limite def(x)lorsquextend vers+1.
2. Convergencede la suite(u) n n2N 1. Prouver,parrécurrence que pour tout entier naturel n, 3 16un6 2 2. Démontrerque,pour tout réel x appartenant à [1,], 1 0 f(x)6 2 3 3. Onnotegla fonction dénie sur1;parg(x) =f(x)x 2 3 0 0 (a) Exprimerg(x)en fonction def(x)et montrer ainsi quegest décroissante sur1;. 2 3 (b) Prouver lexistence dun unique réelappartenant à1;que. telg() = 0. Exprimerf()en 2 fonction de. (c) Montrerque si6u,alorsu6que si. Montreru6alors6u. n n+1n n+1 4. Rappelerlénoncé du théorème de linégalité des accroissements nis et montrer que : 1 8n2N;jun+1j6junj 2 Puis que: n+1 1 8n2N;junj6 2 En déduire la limite de la suite(un)n2Nquand tend n vers linni.
EXERCICE 3 On dispose dune urne qui contient des boules numérotées de 1 à N ,N étant un entier naturel non nul. On y e¤ectue une suite de tirages successifs dune boule avec remise de la boule tirée avant de procéder au tirage suivant. Ondésigne par X la variable aléatoire réelle égale au nombre de tirages nécessaires pour voir pour la première fois toutes les boules de lurne.
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1. Calculde la somme dune série On considère un entiern>1et la fonction dénie sur lintervalle[0;1[par : n X k 8x2[0;1[; Sn(x) =x k=0 Donner lexpression deSn(x)et en déduire la valeur de la somme : +1 X k S(x) =x k=0 On rappelle que: +1 X 1 k1 kx= 2 (1x) k=0
2. Onsuppose que lurne contient 2 boules (N=2) 1. Montrer que la probabilité davoir e¤ectué n tirages pour voir pour la première fois les deux boules de n1 1 lurne,est donnée par :pourn>2p[X=n] = 2 2. Vérierque la variable aléatoireY=X1Quel en est son paramètre ?Donnersuit une loi géométrique. la valeur de lespérance et de la variance deY. En déduire lespérance et la variance de X.
3. Onsuppose que lurne contient 3 boules (N=3). On noteAn(respectivementBn,Cn) lévénement:la boule A (respectivement la boule B,la boule C )na pas été obtenue au cours des n tirages,n2N 1. Déterminerles probabilités suivantes : p[An]; p[An\Bn]; p[An\Bn\Cn]
2. Exprimerlévénement[X > n]en fonction des événementsAn,Bn,Cn. 3. Enutilisant la formule ci-dessous : p[A[B[C] =p[A] +p[B] +p[C]p[A\B]p[B\C]p[A\C] +p[A\B\C] n n nn n n nn nn nn nn n Prouver que pour toutn>2: n n1 2 1 p[X > n] = 3 3 3 n1n1 2 1 4. Endéduire que la loi deXpour toutest donnée par :n>3p[X=n] =2 3 3 5. Vérierque : +1 X p[X=n] = 1 n=3 6. MontrerqueXadmet une espérance et déterminer cette espérance.