Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

Description

Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 108
• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option technologique

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 4 pages

Année 2006

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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EXERCICE 1 On se propose de déterminer par deux méthodes,les suites de réels(u n ) n2N et(v n ) n2N vériant les relations de récurrence: 8 2 1 > < u=u+v n+1n n 3 2 Pour tout entier naturel n :avecu 0 = 1etv 0 = 1 1 1 > : v n+1 =u n +v n 3 2 1. Montrerpar récurrence que ,pour tout entier naturel n :u n +v n = 2 2. Ondénit la suite(x n ) n2N par: 4 8n2N; x n =v n  5 (a) Utiliser la question qui précède pour montrer que la suite(x n ) n2N est une suite géométrique.En déterminer la raison. (b) Exprimerx n En déduireen fonction de n.v n puisu n en fonction de n. (c) Montrerque les suites(u n ) n2N et(v n ) n2N sont convergentes vers des réels respectifsl 1 etl 2 à préciser. 3. Onconsidère les matrices à coe¢ cients réels B et C dénies par :    1 33 1 23 B=; C= 5 22 52 3 (a) Lesmatrices B et C sont elles inversibles ? (b) Montrerlexistence dune matrice carrée dordre 2,à coe¢ cients réels,notée A telle que pour tout entier naturel n :    u n+1 u n =A v v n+1n (c) Vérierque lon a : ( B+C=I 1 B+C=A 6 oùIdésigne la matrice unité dordre 2. 2 2 (d) Calculerles produits matricielsB,C,BC,CB. (e) Montrerpar récurrence que pour tout entier naturel n :      n 1 u n u 0 =B+C v n 6 v 0

(f) Retrouverainsi lexpression deu n et dev n en fonction de n . Vérier que lon a:    l u 1 0 =B l 2 v 0

EXERCICE 2 On dénit la suite(u n ) n2N par:

( 3 u= 0 2 8n2N; u n+1 =f(u n )

oùfest la fonction dénie sur lintervalle[1;+1[par :

2x f(x) = (x+ 1)e

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x On pourra utiliser les valeurs approchées suivantes pourf(x)ete: x10;5 0;5 1 1;3 4 55 2 f(x0) 0;41 1;36 1;47 1;39 1;21 0;80 0;45 0;24 x e2;71 1;65 0;61 0;37 0;22 0;14 0;05 0;02 0;01

1. Etudedes variations def 0 1. Déterminerla fonction dérivéefdef.

2. Dresserle tableau de variation defsur[1;+1[.

3. Donnerla limite def(x)lorsquextend vers+1.

2. Convergencede la suite(u) n n2N 1. Prouver,parrécurrence que pour tout entier naturel n, 3 16u n 6 2 2. Démontrerque,pour tout réel x appartenant à [1,], 1 0   f(x)6 2   3 3. Onnotegla fonction dénie sur1;parg(x) =f(x)x 2   3 0 0 (a) Exprimerg(x)en fonction def(x)et montrer ainsi quegest décroissante sur1;. 2   3 (b) Prouver lexistence dun unique réelappartenant à1;que. telg() = 0. Exprimerf()en 2 fonction de. (c) Montrerque si6u,alorsu6que si. Montreru6alors6u. n n+1n n+1 4. Rappelerlénoncé du théorème de linégalité des accroissements nis et montrer que : 1 8n2N;ju n+1 j6ju n j 2 Puis que:   n+1 1 8n2N;ju n j6 2 En déduire la limite de la suite(u n ) n2N quand tend n vers linni.

EXERCICE 3 On dispose dune urne qui contient des boules numérotées de 1 à N ,N étant un entier naturel non nul. On y e¤ectue une suite de tirages successifs dune boule avec remise de la boule tirée avant de procéder au tirage suivant. Ondésigne par X la variable aléatoire réelle égale au nombre de tirages nécessaires pour voir pour la première fois toutes les boules de lurne.

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1. Calculde la somme dune série On considère un entiern>1et la fonction dénie sur lintervalle[0;1[par : n X k 8x2[0;1[; S n (x) =x k=0 Donner lexpression deS n (x)et en déduire la valeur de la somme : +1 X k S(x) =x k=0 On rappelle que: +1 X 1 k1 kx= 2 (1x) k=0

2. Onsuppose que lurne contient 2 boules (N=2) 1. Montrer que la probabilité davoir e¤ectué n tirages pour voir pour la première fois les deux boules de   n1 1 lurne,est donnée par :pourn>2p[X=n] = 2 2. Vérierque la variable aléatoireY=X1Quel en est son paramètre ?Donnersuit une loi géométrique. la valeur de lespérance et de la variance deY. En déduire lespérance et la variance de X.

3. Onsuppose que lurne contient 3 boules (N=3). On noteA n (respectivementB n ,C n ) lévénement:la boule A (respectivement la boule B,la boule C )na pas été  obtenue au cours des n tirages,n2N 1. Déterminerles probabilités suivantes : p[A n ]; p[A n \B n ]; p[A n \B n \C n ]

2. Exprimerlévénement[X > n]en fonction des événementsA n ,B n ,C n . 3. Enutilisant la formule ci-dessous : p[A[B[C] =p[A] +p[B] +p[C]p[A\B]p[B\C]p[A\C] +p[A\B\C] n n nn n n nn nn nn nn n Prouver que pour toutn>2:    n n1 2 1 p[X > n] = 3 3 3    n1n1 2 1 4. Endéduire que la loi deXpour toutest donnée par :n>3p[X=n] =2 3 3 5. Vérierque : +1 X p[X=n] = 1 n=3 6. MontrerqueXadmet une espérance et déterminer cette espérance.

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