(d)End´eduirel’e´galit´ematricielle: unu1 n−1 vn=M v1 wnw1 1 0 0 2. SoitAlatamcerinndopee´:raA2 0= 2 0 1 3 2 (a) Calculerla matriceA. (b) Montrerque, pour tout entier naturel non nulk,isteilexmorbednseeslse´rak,bk,ckre´vnafii´eit’´tlaleg k+1 1 0 0ak+1=ak+ 2 k k A=ak2 0et les relationsbk+1=bk+ 2ck k k bkck3ck+1= 2ck+ 3 ck+1ck (c) Pourtout entier naturel non nulk:, on posedk=ak+1−aketqk=−. k+1k 2 2 Montrer que les suites (d)×et (q)×´rptsiceelrersru´esg´eomiqtrseuesnodtuesxiuetsn.iaos k k∈N. kk∈N. P k−1 (d)Calculerdedeuxfa¸consdiffe´rentes,pourtoutentiernaturelknon nul, les sommesdjet j=1 P k−1 qj. j=1 k+1 ak= 2−2 Ende´duireles´egalit´es: k k ck= 3−2 (e) Exprimer,pour tout entier naturel non nulk,bk+1−bken fonction dek. k k+1 End´eduire,parunem´ethodeanalogue`acelledelaquestiond),l’e´galit´e:bk= 3−2 +1. 3. n−1n−1 (a) Exprimerla matriceMcirteededamall’ai`aAse:e´agil´tirdueseltee´end 1 un= n−1 3 n 2−2 vn= n−1 3 n 2−1 wn= 1− n−1 3 (b)De´terminerleslimiteslimun, limvnet limwnste´luat´rseC.se?selbisvi´eprls-intieta n→+∞n→+∞n→+∞ ` (c) Apartir de quel nombrenevotantsest-once´tlessnosud?nsoiuxdendcaatidiatr9a`nuq%9mua’ EXERCICE II
Cetexercicee´tudielafe´condit´edesfemmesd’unpaystotalementimaginaire,laSyldavie. 1.elgdonultaoustve.eivrue´econditFemsslyade´edfsme On estime que le nombre d’enfants mis au monde par une femme syldave, au cours de sa vie, est une variable al´eatoireNPediolenednossioetm`rapa2.resuivantu (a)Donnerl’espe´rancedecettevariableal´eatoire. (b)Calculerlaprobabilit´epe`´eaarpporhcnuvelaueendonnerem`ereetrteˆ’d,evadlysememefunurpo, −2 0,pr01s.`e(0On donnee'0,135) (c)Calculerlaprobabilit´epourunefemmesyldaved’avoiraumoinsquatreenfants,sachantqu’elleena au moins un. 2.de´eemsfssmedaylFoce´tidn’ˆedchantrarspve.ega
2
Onsuppose,danscettequestion,qu’aucunefemmesyldaven’estm`ereavantl’aˆgede12ansetqu’ilexiste +− une fonctionfcontinue positive surR, nulle surRv´,ifiert:an + – pourtout intervalleJnon vide deRde la forme [a, b[, le nombre d’enfants mis au monde par une femmesyldaved’aˆgeappartenant`al’intervalle[12+a,12 +btunevari[,eseriotae´laelbaNJsuivant la b R loidePoissondeparame`treαJ:eparonn´dαJ=f(t)dt. a + – pourtout intervalleJnon vide deRde la forme[a,+∞[, le nombre d’enfants mis au monde par une femmesyldaved’ˆageappartenant`al’intervalle[12+a,+∞[e,eriotaeeal´iablevarstunNJsuivant la +∞ R loidePoissondeparam`etreαJodnn´epar:αJ=f(t)dt. a 0 On suppose de plus que, siJetJtes,sosintntdelleservaiotnidjsnalt,syal’oune’uesedtraurpsemrofnede´ce´ lesvariablesale´atoiresNJetNJsoinntepd´daensetn. 0 +∞ R (a)Quelledoiteˆtrelavaleurdel’int´egralef(t)dtelccsleetneevasoctnre´hsoieesesoth`shypeuecuoqrp 0 de la question 1.? (b)Justifierque,pourtoutr´eelx´tilibabenuruopeitosproap,liftertapmsnoedaemuesylfemmdenedave x R d’enfantavantl’aˆgexe21+odtse´nnepar:P([N[0,x[= 0]) = exp−f(t)dt. 0 (c)Montrerque,pourtoutr´eelxt´liouepnerummfetisol,fiorpaibabmisavoirupadevselyapaseden monded’enfantavantd’atteindrel’ˆagex12+paeer:sedtno´nts`mre,equ’ellee,sachant x+∞ Z Z 1 P([N[0,x[= 0]/[N >0]) =exp−f(t)dt1−exp−f(t)dt p 0x Rappel: le nombrepnnafide´iqdael´sttes´eaunoi1.b). ´ 3.Etude d’une fonction auxiliaire. −+ Onsuppose,dore´navant,quefest la fonction nulle surRedteiope´nfiutr´urtoeeltdeRpar : 1728t f(t) = 2 2 (t+ 432) 432 864 1728 2 Remarque= == 144 =: 12. 3 6 12 + ´ (a) Etudierla fonctionfsurRaximtunmadmeellecesirpen.´arleo’muuq’uqrertnomte (b)Donnerl’alluredesacourberepre´sentativeenpr´ecisantsademi-tangente`al’origineetl’abscissedeson point d’inflexion. x+∞+∞ R RR (c)Calculer,pourtoutr´eelxisittnopetemrtcisesalgr´entsilef,f(t)dt,f(t)dtetf(t)dt. 0 0x (d)Ende´duirel’expression,enfonctiondepet dexbaborpalboe´tilianednutestueaqslc..)oeid2,n ˆ 4.nalassiaecnaosedrenpermifaen.nteg’dA`ereunemave`syld Onsuppose,danscettequestion,quel’ˆageauquelunem`eresyldavemetaumondesonpremierenfantest unevariableal´eatoireTprenant ses valeurs dans l’intervalle [12,+∞r´erefiienla,top[rutoet´tvuxpositif: 2 1 2x864 P([T >12 +xexp]) =−1−exp− 2 2 p x+ 432x+ 432 0 0− (a) OnposeT=T−eirtoae´laelbairavaleerquontr12.MTnsdeurpoait´elafonctiongnulle surRet 2 1 1728t2t + de´finiepourtouttdeRpar :g(texp) =−. 2 22 p(t+ 432)t+ 432 3