´ ESSEC 2002, Option scientifique, MATHEMATIQUES I Danslasuite,ond´esigneparnunreennombus´pitreruuoreeia2l`ga´erpaetRn[X] l’espace vectorieldespolynˆomesdedegr´einf´erieuroue´gala`n. Onrappellequ’unpolynˆomenonnulestditunitairelorsquesoncoefficientdominant(c’est`adire lecoefficientdesontermedeplushautdegr´e)est´egal`a1. L’objetduprobl`emeestl’e´tudedesextremad’unefonctiondeplusieursvariables(partieII). Aceteffet,on´etudieauparavant,danslapartieI,unefamilledepolynoˆmesdeRn[X] et leurs racines. Lesdeuxpartiesnesontpasind´ependantes,maisonpourraadmettredesre´sultatsdelapartieI pour pouvoir traiter la partie II. Partie I 1)D´efinitiond’unendomorphismeφdeRn[X] 0 a)emoˆnyloatErilbitnoilaca’ppuqleoutpt`atcianassoPdeRn[X]eomnˆlypoleφ(P) = 2xP− 0 00 P`ou(”PetPerpse`imire´ee´vedndeetrecosenentlesdd´esigP) est un endomorphisme de Rn[X]. 2n b)Ecrire sa matrice dans la base canonique (1, . . . , x, x, x) deRn[X]. 2)Ele´mentspropresdel’endomorphismeφ a)´Dtereesprropsruelavselrenimλ0, λ1, . . . , λndeφ(on supposera queλ0≤λ1≤. . .≤λnet montrer queφest diagonalisable. b)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0≤p≤n,qu’ileynolmeˆoutsnueplixtsueen unitaireHpdeRn[Xe´v]afiirnt: 00 0 H−2xH+ 2pHp= 0 p p c)Montrer, pour tout nombre entierptel que 0≤p≤n, queHpsente´ecssiarementdedegr´e p. d)xEcilpretipselynolmeˆosH0, H1, H2, H3dans la base canonique deRn[X] et calculer les p−1p−2 coefficients dex(1≤p≤n) et dex(2≤p≤nerpxoissnad)e’lsˆomendupolynHp. 3)De´finitiond’unproduitscalairesurRn[X] a)qrertnoMuoesedssce-irctile´eegraint´uel’outce(pl´dtsinfieuopeuotrP, Q) deRn[X] : Z +∞ 2 hP, Qi=P(x)Q(x) exp(−x) dx −∞ b)Montrer alors que l’application (P, Q)∈Rn[X]×Rn[X]→ hP, Qi ∈Rdnuiittudn´perfio scalaire surRn[X]. 02 2 c)deeev´ri´eadrlmepxirEx7→P(x).exp(−x) en fonction deφ(P)(x).exp(−x), puis prouver qu’on a pour tout couple (P, Q) deRn[X] : hφ(P), Qi=hP, φ(Q)i d)qeriude´EndeuhHp, Hqi= 0 lorsquepetqsont deux nombres entiers distincts compris entre 0 etn, puis que (H0, H1, . . . , Hn) forme une base orthogonale pour ce produit scalaire. Montrer enfin quehHp, Qiˆnylemotourpoutpo=0Qappanetrant`aRp−1[X] (1≤p≤n). 4)EtudedesracinesdespolynoˆmesHp(1≤p≤n) a)Montrer, en remarquant quehHp, H0i0,qu=pelenyloemoˆHps’annule au moins une fois surRen changeant de signe. b)On notea1, a2, . . . , amles racines distinctes deHpen lesquelles celui-ci s’annule et change de signe (avec bien entendum≤p) et on pose alorsPm(x) = (x−a1)(x−a2). . .(x−am). EtudierlesignedupolynoˆmeHpPmlaee´rgi’tndrleavrleualeretnemi´dtehHp, Pmisim < p, puisende´duirequem=p. c)puoeleeqniˆrldyue´eonmdEHpadmetpracines simples dansR.
5)RelationsentrelespolynˆomesHp(2≤p≤n) a)Porvureel´sgealit´essuivantesopruottuopylˆnmoeQappartenant`aRp−3[X`o]3u≤p≤n: hxHp−1, Qi= 0;hHp−xHp−1, Qi= 0 EnexprimantlepolynoˆmeHp−xHp−1dans la base (H0, H1, . . . , Hnlarelati´etablirn)o,: 2Hp−2xHp−1+ (p−1)Hp−2= 0(pour 2≤p≤n) 0 egalit´e0pourtoutpolynoˆ b)Prouver l’´hHp, Qi= meQ`antnatearppaRp−2[X2u`o]≤p≤n, puisend´eduirelarelation: 0 H=pH p p−1(pour 1≤p≤n) Partie II n Onconsid`eredanscettepartiel’espacevectorielRnotscdeseti´un-upletsx= (x1, x2, . . . , xn). n On noteUl’ouvert deRssnoctitu´eden-upletsx= (x1, x2, . . . , xn) tels quex1< x2< x. .< .n n (maisonnedemandepasdev´erifierquecettepartieUdeRest ouverte). On´etudieicilesextremadelafonctiondeplusieursvariablesFde´nfieiusrl’ouvertUpar : n X X 2 F(x) =x−2 ln(xj−xi) i i=1 1≤i<j≤n Par exemple, pourn= 3, on obtient : 2 2 2 F(x) =x+x+x−2 ln(x2−x1)−2 ln(x3−x2)−2 ln(x3−x1). 1 2 3 2 2 +x−2 ln 1) Etudedu cas particuliern= 2(F(x) =x2(x2−x1)) 1 a)v´ri´exdtiarspeeluclaCuedselredseleelFen tout pointx= (x1, x2) deUe´dtmretrenie l’unique pointadeU`uos.tiellessontnulleecdse´ir´veepsra b)CalculerF(a) et montrer queF´rpnecolamumlminiteunesena. 2) Etudedu point critique deF´gsae´nenadcelsral Onassocie`atoutpointadeUlpelonyoˆemP(x) = (x−a1)(x−a2). . .(x−an). On rappelle qu’un pointadeUest dit point critique deFsedselleitrespaiv´ed´erilesFsont nulles en a. a)r´releebltaEirlarelationsuivnaetopruottuonbmxdistinct dea1, a2, . . . , an: n X 0 P(x) 1 = P(x)x−aj j=1 0 P(x) 1 Ende´duirelalimitequandxtend versaide−. P(x)x−ai b))´encno´el’icirelepparedednntondemaYoung(doTeyaol-rofmrludedeailadeerinl’`ae´Dmret led´eveloppementlimit´e`al’ordre2`al’originedesdeuxfonctionssuivantes: 0 f(t) =tP(ai+t)−P(ai+t) ;g(t) =tP(ai+t) 0 P(x) 1 End´eduirelalimitequandxtend versaide−(on poserax=ai+t). P(x)x−ai c)itilU´t:etatsesulesr´serlruopstnede´ce´rpliga´el’irblta´e n X 00 1P(ai) = 0 ai−aj2P(ai) j=1 j6=i Exprimer lesne´sddertpallieiveres´eFen fonction dex1, x2, . . . , xnonemd´isesquertri,up 0 00 aest point critique deF, alors 2xP−Padmet pour racinesa1, a2, . . . , an. 0 00 d)el´ererbmonnuetsixelnEde´deriui’uqλ´epronntdo(e2elqurut)avelaralicesxP−P=λP, puiscomparerlespolynoˆmesPetHn. Etablir queFadmet un unique point critiqueadans U. 3) Naturedu point critique deFrelae´´ndacasgnsle a)Montrer, six,ytnenaa`arppentiU, quetx+ (1−t)yss`iaappartientauUsi 0≤t≤1. 2