Lesujetci-dessousvisea`fairecomprendrecommentdeuxconcurrentsauxinte´rˆetsantagonistes, neparvenantpas`afixerconjointementlesstrate´giesdel’unetl’autre,conviennentdelestirer ausortavecdesprobabilite´sbiende´termin´ees. Notations : Danstoutleproble`menetpse´dengisepoonet:erslonnnlufis´xsentdesentiersnatu En=Mn,1(R)´dno;medtinfieˆemeEp. x 1n X On noteKnl’ensembleX=∈En, x1≥0, . . . , xn≥0, xi= 1tdemˆemeno´dfiein; . i=1 xn Kp. Les espacesEnetEp; la norme euclidienne, sont munis de leur structure euclidienne canonique d’un vecteurXdeEneet´tsone||X||; le produit scalaire de deux vecteursXetYdeEnetson´te hX, Yidonaelptˆeamnomeitatopnoelrucevsdseetruo;Ep. Enfin, sikest un entier naturel non nul et, si(zi)1≤i<≤kefunsteeied´reemalielnfiels,onnot maxzioumaxzi(respectivementminziouminzi) son plus grand (respectivement son plus 1≤i≤n i1≤i≤n i petit)´ele´ment. Plusg´en´eralement,sifsnmelbeiond´efiniesurunetsefenutcnoA`,valauesnadsrR, admettant un maximum (respectivement un minimum) surA, on notemaxf(x), (respectivementminf(x) x∈Ax∈A ce maximum, (respectivement ce minimum).
Partie I :Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petits SoitA= (ai,jmatrice appartenant a) uneMn,p(R) 1≤i≤n 1≤j≤p On noteu(Amin ( max) =ai,j) etv(Amax ( min) =ai,j). Pour simplifier les notations, on 1≤i≤n1≤j≤p1≤j≤p1≤i≤n pourra´ecrirecesexpressions:u(Amax) = minai,jetv(A) = maxminai,j. i jj i –1 6–2 –2 3 1)Calculeru(A) etv(A) dans les deux cas suivants :A= ;A1 0 .= 0 1 –1 –2 3–1 2)vernOula`on´ersg´eaucaientA∈ Mn,p(R). Pour toutj0∈ {1, . . . , p}et touti0∈ {1, . . . , n}, on poses= minaett= maxa. j0i,j0i0i0,j i j a)Montrer ques≤tpour toutj∈ {1, . . . , p}et touti∈ {1, . . . , n}. j0i00 0 b)ireq´eduEndeuv(A)≤u(A). 3)niefiecritenTogramme´acolan´druobP-salensdaueeqosppsurpnu’delubmae´rpnO 1)deuxconstantesentie`res:netp, 2) un type :;matrice = array[l..n,l..p] of real ´ a)Ecrire le corps de la fonction; i : integer) : real;function Maxligne (A :matrice cettefonctiondoitretournerleplusgrande´le´mentdelaligneide la matriceA`--ae’tsredci, la valeur maxA[i, j]. j ´ b)Ecrire le corps de la fonctionfunction MinMax(A :matrice) :real;cette fonction doit retourner la valeuru(A)finie,d´eointiauseliafrlctonsulptuahpno;rruoMax ligne.
Partie II :Le minimum des maxima et le maximum des minima –2 3 1)ectairDnaonsi.Oncelamd`erute´ueidexenelpmetscqutetiesononAet pour= , 1 –1 x y 2 t tout (x, y)∈[0,on pose1] ,X= etY= puish(x, y) =XAY. 1−x1−y
a)Calculerh(x, y) en fonction dexety. b)ivsuerinrmte´eDedsruelavseltnax∈[0,1], le maximum de la fonctiony7→h(x, y) sur [0,1ce];naree´toixamsmumλ(x). c)´eterminDruiminumrealaveledmλ(x) lorsquex[0itcr´ed,uesrvelatoe´renaettCe].1α(A), t t elleestdonce´gale`amin(maxXAYmax), qu’on note plus simplement minXAY,e´attn X∈K2Y∈K2X Y entendu queXetYd´ecriventK2. t d)raPmenuhte´eaodlonae,guntmoe’ixerlrecedtsneβ(A) = maxminXAYet donner sa Y X valeur. Dans la suite de cette partie,A= (ai,j)trmae.icgnsineeu`tnaaappanetrde´Mn,p(R). 1≤i≤n 1≤j≤p t Ond´efinitlafonctionfsurKn×Kppar :∀(X, Y)∈Kn×Kp, f(X, Y) =XAY x 1n X Pour toutj∈ {1, . . . , p}et toutX=∈Kn, on poseϕj(X) =ai,jxi, puis . i=1 xn λ(X) =maxϕj(X). 1≤j≤p 2)idnscoOnedfse`eroisnnotcg1, . . . , gpfinied´eesnursutcsetionKndsrusnaa`,elavR. a)On poseh= max(g1, g2se-ta`d-,)’cendioctonafelirKndansRrapeinfie´d: h(x) = maxg1(x), g2(x) . g1+g2+|g1−g2| Ve´rifierqueh=eend´etrequeduihest continue surKn. 2 b)Montrer que la fonctiong= max(g1, . . . , gp) est continue surKn,g´nate´etdiefinrsuKn par :∀x∈Kn, g(x) = maxg1(x), . . . , gp(x) . 3)entun´el´emesquteetscanDere`disnocnonoitXaappatrnena`tKn. a)Montrer que pour toutY∈Kp, f(X, Y)≤λ(X). b)Montrer qu’il existeYX∈Kptel quef(X, YX) =λ(X). c)duirnd´eonpeequ’optu:resEλ(Xmax) =f(X, Y). Y∈Kp 4)a)Montrer queKnrn´e.etsob (euq,emel`obprduteuiasrlOnadmetpouKnpenutsedem´eeeferartiEn) b)Montrer queλadmet un minimum surKn. t Ceminimumestnot´eα(A)acne´ag`ltilestdoemin maxXAY, qu’on note plus X∈KnY∈Kp t simplementmin maxXAY X Y t Onmontreraitdemanie`reanaloguequelenombremax minXAYexiste. Il est note Y∈KpX∈Kn t β(A)etonl’´ecritplsuispmelemtnmax minXAY. Y X 0 0 5)a)Soit (YX ,nat)`arappanetKn×Kp. Montrer queminf(X, Y)≤λ(X). X∈Kn b):eriuedd´Enβ(A)≤α(A). 6)On dit qu’une partie non videCdeEpest convexe lorsque : 2 ∀(X, Y)∈ C,∀m∈[0,1], mY+ (1−m)X∈ C Onconsid`eredanscettequestionunepartieCdeEpvexeconontedivn.eer,feem´or,been´ a)Montrer qu’il existeW∈ C, tel que :∀Y∈ C,||W|| ≤ ||Y||. b)SoitYetrappaa`tnanC, on pose pour toutm∈[0,1] :Ym= (1−m)W+mY. 2−m m 2 2 •Montrer que :∀m∈]0,1[,hW, Yi ≥||W|||| −Y||. 2(1−m) 2(1−m) t On rappelle. quehW, Yi)(=W Y)alacderidorpstiuesigneleed´WetY. 2 •:eque´endirduEhW, Yi ≥ ||W||. 7)onconsid`erel’enesbmel:aDsnqeeuectttjneiostal’`quustecednfiaeitrapet t C=m AX+ (1−m)Y, X∈Kn, Y∈Kp, m∈[0,1] 2
a)Montrer queKnest une partie convexeEn. b)Montrer queCeparstunonvetiecobnrexteeee´deEp. On admet pour la suite queCdeeeiefmre´neturtpaesEp. 8)veleuqnoitseuqettiarpplanuurteecane`tedanscetOnsupposC. t a)Montrer qu’il existeX0∈Kn, Y0∈Kpetunr´eelµ≤0 tels que :AX0=µY0. t b)iseldenge´eDrmteerinX0AYpour toutY∈Kp. c)nireetmrngdeeliseD´eα(A). 9)oitseuqeoppusnonttcensDatientpasln’apparceetruunesuqlevea`C. a)net´euneml´exilteisertn’uqroMW∈ Ctel que : t t ∀m∈[0,1],∀X∈Kn,∀Y∈Kp, XAW+ (1−m)>Y W0 b)On notew1, . . . , wpooscleeen´onrdedsWdans la base canonique deEp. Montrer quewi>0 pour touti∈ {l, . . . , p}. t c)Montrer que :∀X∈Kn, XAW>0. 0t0 d)Montrer qu’il existe un vecteurW∈Kptel que :∀X∈Kn, XAW >0. e)Montrer queβ(A)>0. 10)rtameciitla´efinOndB∈ Mn,p(R) parB=A−β(A)Jou`Jirecpaapseltmataartenant` Mn,p(R.a1)ssnoemtnua`x´tgetousdontel´eles´ a)uelavselsr´eDerinrmteα(B) etβ(B) en fonction deα(A) etβ(A). b)´rpse´cetneduqseirduesedesquontiDe´eα(A) =β(A).
Partie III :Point-selle et point critique Dans cette partie,Acedeunematriotjuuosr´dsegienMn,p(R) et on rappelle que pour tout (X, Y) t appartenant`aKn×Kp:f(X, Y) =XAY. On dit que le couple(X0, Y0)`araetantnappKn×Kpest un point-selle pourf, lorsque : ∀(X, Y)∈Kn×Kp, f(X0, Y)≤f(X0, Y0)≤f(X, Y0)
1)Montrer qu’il existe un point-selle pourfet que si (X0, Y0) en est un, alorsf(X0, Y0) =α(A). a b 2 2)releis`direcmataller´eeonncOAitnoitlafonctoned=´efingsurRpar : c d 2y ∀(x, y)∈R, g(x, y) = (x1−x)A 1−y ∂g ∂g 2 On appelle point critique degtout couple (u, v)∈Rtel que(u, v) =(u, v) = 0. ∂x ∂y a)Montrer quegadmet un unique point critique (x0, y0) si et seulement sia+d−b−c6= 0. De´terminerdanscecas(x0, y0). b)On supposea−betd−cquementgalesnountnoeemtnmeˆidgeese´esoppusnoteslua−c etd−bemismeeˆnodtsustolsnueegnontn. 2 •Montrer que dans ce casgadmet un unique point critique (x0, y0) et que (x0, y0)∈[0,1] . 2 •Montrer que :∀(x, y)∈R, g(x, y) =g(x0, y0) + (x−x0)(y−y0)(a+d−b−c). On pourra introduire les notations suivantes : x yx0y0 X= ,Y= ,X0= ,Y0= ,U=X−X0,V=Y−Y0, 1−x1−y1−x01−y0 et on exprimerag(x, y)`al’aiededU, V, A, X0etY0. x0y0 •reuiequEnedd´,est un point-selle pour l’applicationffie´dein 1−x01−y0 surK2×K2par : t ∀(X, Y)∈K2×K2, f(X, Y) =XAY •Quelle est la valeur deα(A) ?