Mathématiques I 2002 Classe Prepa HEC (S) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2002
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 80
• Langue: Français

Extrait

HEC 2002. Math 1, option scientifique.

Lesujetci-dessousvisea`fairecomprendrecommentdeuxconcurrentsauxinte´rˆetsantagonistes, neparvenantpas`afixerconjointementlesstrate´giesdel’unetl’autre,conviennentdelestirer ausortavecdesprobabilite´sbiende´termin´ees. Notations : Danstoutleproble`menetpse´dengisepoonet:erslonnnlufis´xsentdesentiersnatu E n =M n,1 (R)´dno;medtinfieˆemeE p .    x 1 n   X   On noteK n l’ensembleX=∈E n , x 1 ≥0, . . . , x n ≥0, x i = 1tdemˆemeno´dfiein; .   i=1 x n K p . Les espacesE n etE p ; la norme euclidienne, sont munis de leur structure euclidienne canonique d’un vecteurXdeE n eet´tsone||X||; le produit scalaire de deux vecteursXetYdeE n etson´te hX, Yidonaelptˆeamnomeitatopnoelrucevsdseetruo;E p . Enfin, sikest un entier naturel non nul et, si(z i ) 1≤i<≤k efunsteeied´reemalielnfiels,onnot maxz i oumaxz i (respectivementminz i ouminz i ) son plus grand (respectivement son plus 1≤i≤ n i 1≤i≤ n i petit)´ele´ment. Plusg´en´eralement,sifsnmelbeiond´efiniesurunetsefenutcnoA`,valauesnadsrR, admettant un maximum (respectivement un minimum) surA, on notemaxf(x), (respectivementminf(x) x∈Ax∈A ce maximum, (respectivement ce minimum).

Partie I :Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petits SoitA= (a i,j matrice appartenant a) uneM n,p (R) 1≤i≤n 1≤j≤p On noteu(Amin ( max) =a i,j ) etv(Amax ( min) =a i,j ). Pour simplifier les notations, on 1≤i≤n1≤j≤p1≤j≤p1≤i≤n pourra´ecrirecesexpressions:u(Amax) = mina i,j etv(A) = maxmina i,j . i jj i     –1 6–2 –2 3   1)Calculeru(A) etv(A) dans les deux cas suivants :A= ;A1 0 .= 0 1 –1 –2 3–1 2)vernOula`on´ersg´eaucaientA∈ M n,p (R). Pour toutj 0 ∈ {1, . . . , p}et touti 0 ∈ {1, . . . , n}, on poses= minaett= maxa. j 0 i,j 0 i 0 i 0 ,j i j a)Montrer ques≤tpour toutj∈ {1, . . . , p}et touti∈ {1, . . . , n}. j 0 i 0 0 0 b)ireq´eduEndeuv(A)≤u(A). 3)niefiecritenTogramme´acolan´druobP-salensdaueeqosppsurpnu’delubmae´rpnO 1)deuxconstantesentie`res:netp, 2) un type :;matrice = array[l..n,l..p] of real ´ a)Ecrire le corps de la fonction; i : integer) : real;function Maxligne (A :matrice cettefonctiondoitretournerleplusgrande´le´mentdelaligneide la matriceA`--ae’tsredci, la valeur maxA[i, j]. j ´ b)Ecrire le corps de la fonctionfunction MinMax(A :matrice) :real;cette fonction doit retourner la valeuru(A)finie,d´eointiauseliafrlctonsulptuahpno;rruoMax ligne.

Partie II :Le minimum des maxima et le maximum des minima   –2 3 1)ectairDnaonsi.Oncelamd`erute´ueidexenelpmetscqutetiesononAet pour= , 1 –1    x y 2 t tout (x, y)∈[0,on pose1] ,X= etY= puish(x, y) =XAY. 1−x1−y

a)Calculerh(x, y) en fonction dexety. b)ivsuerinrmte´eDedsruelavseltnax∈[0,1], le maximum de la fonctiony7→h(x, y) sur [0,1ce];naree´toixamsmumλ(x). c)´eterminDruiminumrealaveledmλ(x) lorsquex[0itcr´ed,uesrvelatoe´renaettCe].1α(A), t t elleestdonce´gale`amin(maxXAYmax), qu’on note plus simplement minXAY,e´attn X∈K 2 Y∈K 2 X Y entendu queXetYd´ecriventK 2 . t d)raPmenuhte´eaodlonae,guntmoe’ixerlrecedtsneβ(A) = maxminXAYet donner sa Y X valeur. Dans la suite de cette partie,A= (a i,j )trmae.icgnsineeu`tnaaappanetrde´M n,p (R). 1≤i≤n 1≤j≤p t Ond´efinitlafonctionfsurK n ×K p par :∀(X, Y)∈K n ×K p , f(X, Y) =XAY   x 1 n X   Pour toutj∈ {1, . . . , p}et toutX=∈K n , on poseϕ j (X) =a i,j x i , puis . i=1 x n λ(X) =maxϕ j (X). 1≤j≤p 2)idnscoOnedfse`eroisnnotcg 1 , . . . , g p finied´eesnursutcsetionK n dsrusnaa`,elavR. a)On poseh= max(g 1 , g 2 se-ta`d-,)’cendioctonafelirK n dansRrapeinfie´d:   h(x) = maxg 1 (x), g 2 (x) . g 1 +g 2 +|g 1 −g 2 | Ve´rifierqueh=eend´etrequeduihest continue surK n . 2 b)Montrer que la fonctiong= max(g 1 , . . . , g p ) est continue surK n ,g´nate´etdiefinrsuK n   par :∀x∈K n , g(x) = maxg 1 (x), . . . , g p (x) . 3)entun´el´emesquteetscanDere`disnocnonoitXaappatrnena`tK n . a)Montrer que pour toutY∈K p , f(X, Y)≤λ(X). b)Montrer qu’il existeY X ∈K p tel quef(X, Y X ) =λ(X). c)duirnd´eonpeequ’optu:resEλ(Xmax) =f(X, Y). Y∈K p 4)a)Montrer queK n rn´e.etsob (euq,emel`obprduteuiasrlOnadmetpouK n penutsedem´eeeferartiE n ) b)Montrer queλadmet un minimum surK n .   t Ceminimumestnot´eα(A)acne´ag`ltilestdoemin maxXAY, qu’on note plus X∈K n Y∈K p t simplementmin maxXAY X Y   t Onmontreraitdemanie`reanaloguequelenombremax minXAYexiste. Il est note Y∈K p X∈K n t β(A)etonl’´ecritplsuispmelemtnmax minXAY. Y X 0 0 5)a)Soit (YX ,nat)`arappanetK n ×K p . Montrer queminf(X, Y)≤λ(X). X∈K n b):eriuedd´Enβ(A)≤α(A). 6)On dit qu’une partie non videCdeE p est convexe lorsque : 2 ∀(X, Y)∈ C,∀m∈[0,1], mY+ (1−m)X∈ C Onconsid`eredanscettequestionunepartieCdeE p vexeconontedivn.eer,feem´or,been´ a)Montrer qu’il existeW∈ C, tel que :∀Y∈ C,||W|| ≤ ||Y||. b)SoitYetrappaa`tnanC, on pose pour toutm∈[0,1] :Y m = (1−m)W+mY. 2−m m 2 2 •Montrer que :∀m∈]0,1[,hW, Yi ≥||W|||| −Y||. 2(1−m) 2(1−m) t On rappelle. quehW, Yi)(=W Y)alacderidorpstiuesigneleed´WetY. 2 •:eque´endirduEhW, Yi ≥ ||W||. 7)onconsid`erel’enesbmel:aDsnqeeuectttjneiostal’`quustecednfiaeitrapet   t C=m AX+ (1−m)Y, X∈K n , Y∈K p , m∈[0,1] 2

a)Montrer queK n est une partie convexeE n . b)Montrer queCeparstunonvetiecobnrexteeee´deE p . On admet pour la suite queCdeeeiefmre´neturtpaesE p . 8)veleuqnoitseuqettiarpplanuurteecane`tedanscetOnsupposC. t a)Montrer qu’il existeX 0 ∈K n , Y 0 ∈K p etunr´eelµ≤0 tels que :AX 0 =µY 0 . t b)iseldenge´eDrmteerinX 0 AYpour toutY∈K p . c)nireetmrngdeeliseD´eα(A). 9)oitseuqeoppusnonttcensDatientpasln’apparceetruunesuqlevea`C. a)net´euneml´exilteisertn’uqroMW∈ Ctel que : t t ∀m∈[0,1],∀X∈K n ,∀Y∈K p , XAW+ (1−m)>Y W0 b)On notew 1 , . . . , w p ooscleeen´onrdedsWdans la base canonique deE p . Montrer quew i >0 pour touti∈ {l, . . . , p}. t c)Montrer que :∀X∈K n , XAW>0. 0t0 d)Montrer qu’il existe un vecteurW∈K p tel que :∀X∈K n , XAW >0. e)Montrer queβ(A)>0. 10)rtameciitla´efinOndB∈ M n,p (R) parB=A−β(A)Jou`Jirecpaapseltmataartenant` M n,p (R.a1)ssnoemtnua`x´tgetousdontel´eles´ a)uelavselsr´eDerinrmteα(B) etβ(B) en fonction deα(A) etβ(A). b)´rpse´cetneduqseirduesedesquontiDe´eα(A) =β(A).

Partie III :Point-selle et point critique Dans cette partie,Acedeunematriotjuuosr´dsegienM n,p (R) et on rappelle que pour tout (X, Y) t appartenant`aK n ×K p :f(X, Y) =XAY. On dit que le couple(X 0 , Y 0 )`araetantnappK n ×K p est un point-selle pourf, lorsque : ∀(X, Y)∈K n ×K p , f(X 0 , Y)≤f(X 0 , Y 0 )≤f(X, Y 0 )

1)Montrer qu’il existe un point-selle pourfet que si (X 0 , Y 0 ) en est un, alorsf(X 0 , Y 0 ) =α(A).   a b 2 2)releis`direcmataller´eeonncOAitnoitlafonctoned=´efingsurRpar : c d   2 y ∀(x, y)∈R, g(x, y) = (x1−x)A 1−y ∂g ∂g 2 On appelle point critique degtout couple (u, v)∈Rtel que(u, v) =(u, v) = 0. ∂x ∂y a)Montrer quegadmet un unique point critique (x 0 , y 0 ) si et seulement sia+d−b−c6= 0. De´terminerdanscecas(x 0 , y 0 ). b)On supposea−betd−cquementgalesnountnoeemtnmeˆidgeese´esoppusnoteslua−c etd−bemismeeˆnodtsustolsnueegnontn. 2 •Montrer que dans ce casgadmet un unique point critique (x 0 , y 0 ) et que (x 0 , y 0 )∈[0,1] . 2 •Montrer que :∀(x, y)∈R, g(x, y) =g(x 0 , y 0 ) + (x−x 0 )(y−y 0 )(a+d−b−c). On pourra introduire les notations suivantes :       x yx 0 y 0 X= ,Y= ,X 0 = ,Y 0 = ,U=X−X 0 ,V=Y−Y 0 , 1−x1−y1−x 0 1−y 0 et on exprimerag(x, y)`al’aiededU, V, A, X 0 etY 0 .    x 0 y 0 •reuiequEnedd´,est un point-selle pour l’applicationffie´dein 1−x 0 1−y 0 surK 2 ×K 2 par : t ∀(X, Y)∈K 2 ×K 2 , f(X, Y) =XAY •Quelle est la valeur deα(A) ?

3