Mathématiques I 2003 Classe Prepa HEC (ECT) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2003
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 480
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS DADMISSION

Option technologique

MATHEMATIQUESI

Année 2003

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.

1n! EXERCICE 1 :Calcul de)lim ln( n n!+1 n n 1.Etude dune fonction Soitfla fonction dénie sur]0; +1[par :f(t) =t1lnt

(a) Calculerles limites defen 0 et en+1. (b) Justierla dérivabilité defsur]0; +1[et déterminerf? (c) Dresserle tableau de variations def. (d) Représenter lallure de la courbe déquationy=f(t)dans un repère orthonormé pour tout réel t compris entre 0 et 4. On donne à cet e¤et les approximations suivantes :ln(2)0;7etln(3)1;1

2.Calcul dintégrale.

1 R (a) Soitxun réel de]0; 1[:Justier lexistence de lintégrale :f(t)dt. x (b) Montrerque la fonctiont!7tlnttest dérivable sur]0; +1[et déterminer sa dérivée. 1 1 R R 1 (c) Endéduire le calcul def(t)dtet montrer quelimf(t)dt=. x!0 2 + x x

3.Calcul dune somme et encadrement de celle-ci par la méthode des rectangles Soitnun entier supérieur ou égal à2rappelle que :. Onn! = 12:::::::n:

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(a) Démontrerque :

n X k n! ln( )= ln(): n n n k=1

(b) Endéduire légalité (1) suivante : n X 1k n+ 11n! f( )=1ln( ): n n n2n nn k=1 (c) Soitkun entier tel que26k6n. Enutilisant la monotonie defsur]0; 1], démontrer que : k1k k 8t2[;]; f( )6f(t) n nn et en déduire que : k Z n 1k f( )6f(t)dt n n k1 n (d) Déduiredu résultat précédent linégalité suivante : 1 n Z X 1k f( )6f(t)dt: n n k=2 1 n (e) Alaide dune démarche analogue à celle qui vient dêtre e¤ectuée, montrer que : 1 Z n1 X 1k f(t)dt6f( ) n n k=1 1 n

(f) Déduirealors à laide des deux inégalités précédentes lencadrement ci-dessous :

4.Conclusion

1 1 Z n Z X 1k1 1 f(t)dt6f( )6f( )+f(t)dt n nn n k=1 1 1 n n

(a) Déduiredu dernier encadrement le résultat suivant : n X 1k1 limf=( ) n n2 n!+1 k=1 (b) Déterminer,à laide de légalité(1), la valeur de la limite : 1n! lim ln(): n n!+1 n n

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EXERCICE II :Suites récurrentes

On considère trois suites réelles(u n );(v n )et(w n )dénies surNpar leur premier terme : u 0 = 5; v 0 = 3; w 0 = 1 et les relations de récurrence suivantes : 8 < u n+1 =u n + 4v n 8n2N ; v n+1 = 4u n +v n : w n+1 =v n +w n On se propose dexprimer les termes de ces trois suites en fonction de lentier naturel n et ce, de deux manières distinctes. 1.Première méthode (a) Démontrerque la suite(u n +v n )est géométrique de raison 5 et en déduire ,pour tout entier natureln, lexpression deu n +v n en fonction den. (b) Démontrerque la suite(u n v n )est géométrique et en déduire ,pour tout entier natureln, lexpression deu n v n en fonction den. (c) Déduiredes deux questions précédentes les expressions deu n et dev n en fonction de lentier natureln.  (d) Soitn2N. Enremarquant que pour tout entier naturelk,v=ww, exprimer la somme : k k+1k n1 X v=v+v+::::+v k 0 1n1 k=0 en fonction dew n ; en déduire lexpression dew n en fonction denet vérier que cette formule reste valable pour le casn= 0. 2.Deuxième méthode 0 10 1 1 4 0u n @ A@ A SoitAla matrice 4 1 0 tout entier naturel. Pourn, on noteX n , la matrice colonne v n . 0 1 1w n

(a) Reconnaîtrele résultat du produit matricielAX n . (b) Montreralors par récurrence que , pour tout entier natureln: 0 10 1 u n 5 n @ A@ A v n =A 3 : w1 n 0 1 4 04 @ A 1 (c) OnposeP= 4 0 4 . MontrerquePest inversible et calculerP 1 11 1n (d) OnposeD=P AP:CalculerDet en déduireDpour tout entier natureln n n1n (e) Démontrerque ,pour tout entier natureln,A=PP D, puis calculerA. (f) Retrouverles expressions deu n ; v n etw n en fonction de lentier natureln.

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EXERCICE III :Probabilités

Une usine fabrique des pièces mécaniques.Chaque pièce a une probabilité de présenter un défaut égal àp,  (0< p <1)On prend au hasard un échantillon de N pièceset ce de manière indépendante.(N2N).

1. Onnote D la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.Reconnaître la loi suivie par D ; préciser la valeur de son espérance ainsi que celle de sa variance.

2. Détermineren fonction depet de N les probabilitésP(D= 0)etP(D>1)

Deux tests sont mis en place :le testT 1 permet de savoir si une pièce quelconque est défectueuse et son coût est posé égal à 1, le testT 2 permet de savoir si au moins une pièce est défectueuse dans un échantillon de taille quelconque et son coût, cinq fois supérieur à celui du testT 1 est posé égal à 5. Pour dépister les éléments défectueux de léchantillon de N pièces, une première stratégie consiste à tester les pièces une à une à laide deT 1 .

3. Combiencette première stratégie nécessite-t-elle de testsT 1 est son coût ?? Quel

Une seconde stratégie consiste à e¤ectuerT 2 sur la totalité de léchantillon puis, si celui-ci savère positif, à tester alors toutes les pièces une à une à laide deT 1

4. OnnoteXla variable aléatoire égale au coût de cette seconde stratégie.

(a) MontrerqueXne prend que deux valeurs qui sont5et5 +N N (b) MontrerqueP(X= 5) = (1p)vaut. QueP(X= 5 +N)? (c) Quelsens peut-on donner à lespérance de la variable aléatoireXcalculer.? La 5. Montrerquen moyenne, la seconde stratégie est moins coûteuse que la première si et seulement sipetN vérient linégalité suivante : 5 1 p <1( ) N N 5 1 6. Calculer la limite de1( )quand N tend vers+1et en déduire quàpxé, la seconde stratégie N N savère en moyenne plus onéreuse si la tailleNde léchantillon testé est très importante.Comment peut-on expliquer cela ? An de remédier à ce problème, on partage léchantillon de N pièces enkéchantillons denpièces (on a donc N=knapplique alors la seconde stratégie à chacun des). Onknoteéchantillons. OnX i ((16i6k)la variable aléatoire égale au coût de la détection des pièces défectueuses du ième échantillon et on note Y la variable aléatoire égale au coût total. 7. ExprimerYen fonction deX 1 ; X 2 ; :::::; X k montrer que. et 5 n E(Y) =N1( +(1p) ) n n On admet que si le réelpest très petit devant 1,(1p)est très proche de1np. Enutilisant cette approximation, on admet que 5 E(Y) =N( +np) n 8. Dansle cas oùp= 0;002etN= 1000,montrer que lespérance deYest minimale pour une valeur denà préciser.

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