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Mathématiques I 2003 Classe Prepa HEC (ECT) ESSEC

4 pages
Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option technologique
MATHEMATIQUESI
Année 2003
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
1n! EXERCICE 1 :Calcul de)lim ln( n n!+1 n n 1.Etude dune fonction Soitfla fonction dénie sur]0; +1[par :f(t) =t1lnt
(a) Calculerles limites defen 0 et en+1. (b) Justierla dérivabilité defsur]0; +1[et déterminerf? (c) Dresserle tableau de variations def. (d) Représenter lallure de la courbe déquationy=f(t)dans un repère orthonormé pour tout réel t compris entre 0 et 4. On donne à cet e¤et les approximations suivantes :ln(2)0;7etln(3)1;1
2.Calcul dintégrale.
1 R (a) Soitxun réel de]0; 1[:Justier lexistence de lintégrale :f(t)dt. x (b) Montrerque la fonctiont!7tlnttest dérivable sur]0; +1[et déterminer sa dérivée. 1 1 R R 1 (c) Endéduire le calcul def(t)dtet montrer quelimf(t)dt=. x!02 + x x
3.Calcul dune somme et encadrement de celle-ci par la méthode des rectangles Soitnun entier supérieur ou égal à2rappelle que :. Onn! = 12:::::::n:
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(a) Démontrerque :
n X k n! ln( )= ln(): n n n k=1
(b) Endéduire légalité (1) suivante : n X 1k n+ 11n! f( )=1ln( ): n n n2n nn k=1 (c) Soitkun entier tel que26k6n. Enutilisant la monotonie defsur]0; 1], démontrer que : k1k k 8t2[;]; f( )6f(t) n nn et en déduire que : k Zn 1k f( )6f(t)dt n n k1 n (d) Déduiredu résultat précédent linégalité suivante : 1 nZ X 1k f( )6f(t)dt: n n k=2 1 n (e) Alaide dune démarche analogue à celle qui vient dêtre e¤ectuée, montrer que : 1 Zn1 X 1k f(t)dt6f( ) n n k=1 1 n
(f) Déduirealors à laide des deux inégalités précédentes lencadrement ci-dessous :
4.Conclusion
1 1 ZnZ X 1k1 1 f(t)dt6f( )6f( )+f(t)dt n nn n k=1 1 1 n n
(a) Déduiredu dernier encadrement le résultat suivant : n X 1k1 limf=( ) n n2 n!+1 k=1 (b) Déterminer,à laide de légalité(1), la valeur de la limite : 1n! lim ln(): n n!+1 n n
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EXERCICE II :Suites récurrentes
On considère trois suites réelles(un);(vn)et(wn)dénies surNpar leur premier terme : u0= 5; v0= 3; w0= 1 et les relations de récurrence suivantes : 8 <un+1=un+ 4vn 8n2N; vn+1= 4un+vn : wn+1=vn+wn On se propose dexprimer les termes de ces trois suites en fonction de lentier naturel n et ce, de deux manières distinctes. 1.Première méthode (a) Démontrerque la suite(un+vn)est géométrique de raison 5 et en déduire ,pour tout entier natureln, lexpression deun+vnen fonction den. (b) Démontrerque la suite(unvn)est géométrique et en déduire ,pour tout entier natureln, lexpression deunvnen fonction den. (c) Déduiredes deux questions précédentes les expressions deunet devnen fonction de lentier natureln. (d) Soitn2N. Enremarquant que pour tout entier naturelk,v=ww, exprimer la somme : k k+1k n1 X v=v+v+::::+v k0 1n1 k=0 en fonction dewn; en déduire lexpression dewnen fonction denet vérier que cette formule reste valable pour le casn= 0. 2.Deuxième méthode 0 10 1 1 4 0un @ A@ A SoitAla matrice4 1 0tout entier naturel. Pourn, on noteXn, la matrice colonnevn. 0 1 1wn
(a) Reconnaîtrele résultat du produit matricielAXn. (b) Montreralors par récurrence que , pour tout entier natureln: 0 10 1 un5 n @ A@ A vn=A3: w1 n 0 1 4 04 @ A 1 (c) OnposeP=4 0 4. MontrerquePest inversible et calculerP 1 11 1n (d) OnposeD=P AP:CalculerDet en déduireDpour tout entier natureln n n1n (e) Démontrerque ,pour tout entier natureln,A=PP D, puis calculerA. (f) Retrouverles expressions deun; vnetwnen fonction de lentier natureln.
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EXERCICE III :Probabilités
Une usine fabrique des pièces mécaniques.Chaque pièce a une probabilité de présenter un défaut égal àp, (0< p <1)On prend au hasard un échantillon de N pièceset ce de manière indépendante.(N2N).
1. Onnote D la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.Reconnaître la loi suivie par D ; préciser la valeur de son espérance ainsi que celle de sa variance.
2. Détermineren fonction depet de N les probabilitésP(D= 0)etP(D>1)
Deux tests sont mis en place :le testT1permet de savoir si une pièce quelconque est défectueuse et son coût est posé égal à 1, le testT2permet de savoir si au moins une pièce est défectueuse dans un échantillon de taille quelconque et son coût, cinq fois supérieur à celui du testT1est posé égal à 5. Pour dépister les éléments défectueux de léchantillon de N pièces, une première stratégie consiste à tester les pièces une à une à laide deT1.
3. Combiencette première stratégie nécessite-t-elle de testsT1est son coût ?? Quel
Une seconde stratégie consiste à e¤ectuerT2sur la totalité de léchantillon puis, si celui-ci savère positif, à tester alors toutes les pièces une à une à laide deT1
4. OnnoteXla variable aléatoire égale au coût de cette seconde stratégie.
(a) MontrerqueXne prend que deux valeurs qui sont5et5 +N N (b) MontrerqueP(X= 5) = (1p)vaut. QueP(X= 5 +N)? (c) Quelsens peut-on donner à lespérance de la variable aléatoireXcalculer.? La 5. Montrerquen moyenne, la seconde stratégie est moins coûteuse que la première si et seulement sipetN vérient linégalité suivante : 5 1 p <1( ) N N 5 1 6. Calculer la limite de1( )quand N tend vers+1et en déduire quàpxé, la seconde stratégie N N savère en moyenne plus onéreuse si la tailleNde léchantillon testé est très importante.Comment peut-on expliquer cela ? An de remédier à ce problème, on partage léchantillon de N pièces enkéchantillons denpièces (on a donc N=knapplique alors la seconde stratégie à chacun des). Onknoteéchantillons. OnXi((16i6k)la variable aléatoire égale au coût de la détection des pièces défectueuses du ième échantillon et on note Y la variable aléatoire égale au coût total. 7. ExprimerYen fonction deX1; X2; :::::; Xkmontrer que. et 5 n E(Y) =N1( +(1p) ) n n On admet que si le réelpest très petit devant 1,(1p)est très proche de1np. Enutilisant cette approximation, on admet que 5 E(Y) =N( +np) n 8. Dansle cas oùp= 0;002etN= 1000,montrer que lespérance deYest minimale pour une valeur denà préciser.
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