CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUESI Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Pour tout couple(p; q)dentiers strictement positifs, on noteMp;q(R)lensemble des matrices àplignes etq colonnes à coe¢ cients réels. T SiAest un élément quelconque deMp;q(R), on noteAla transposée deA. n Dans tout le problème, pourndansN, on identieRet lensembleMn;1(R)des matrices colonnes ànlignes n et à coe¢ cients réels.Lespace vectorielRest muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire de T deux vecteursXetYétant notéY >> X;ouY X. 0 1 x 0 ! 1=2 n1 x1pX n T2 Pour tout vecteurX=BCdeR, sa norme est donnée parkXk=X X=x. k @ A . k=0 x n1 2 Le module et le conjugué dun nombre complexezsont notés respectivementjzjetz. Onrappelle quejzj=zz. Le nombre complexe de module 1 et dargument=2est notéi. (n) Lobjet du problème est létude de quelques propriétés de la matriceHn=h(appelée matrice de k;j 16k;j6n 1 (n) Hilbert) deMn;n(R), de terme génériqueh=, les entiersketjdécrivant[1; n]]. k;j k+j1 Pour tout entiernsupérieur ou égal à1, la matriceHnsécrit donc 0 1 1 1 1 2n 1 11 2 3n+ 1 H= n . . ... B C 1 11 @ A n n2+ 1n1
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Préliminaire i h On rappelle que la restriction de la fonction tangente à lintervalle;, admet une fonction réciproque notée 2 2 0 arctan. Onnote(arctan)sa dérivée.
0 1. (a)Pour tout réelx, rappeler lexpression de(arctan) (x)en fonction dex. 1 (b) Montrer,pour toutxdeR, légalité :arctanx+ arctan=. + x2 (c) tablir,pour toutxdeR+, lencadrement :06arctanx6x. 1 2. (a)Montrer que la fonctiondénie surRpar(x) =est une densité de probabilité surR. 2 (1 +x) (b) SoitUune variable aléatoire réelle de densiténote. OnFsa fonction de répartition.Déterminer la loi de la variable aléatoireF(U). (c) Onrappelle que la fonction Pascalrandomrend un nombre aléatoire de lintervalle[0;1]suivant une loi uniforme sur cet intervalle.Écrire, dans le langage Pascal, une fonctionCauchysimulant la variable aléatoireU.
Partie I : Dimension du sous-espace propre associé à la plus grande valeur propre deH n 1 Z 2k+j2 1. Calculer,pour tout couple(k; j)de[1; n]], lintégralet dt. 0 0 1 x0 x1 n En déduire, pour tout vecteurX=B CdeR, légalité : @ A . x n1 1 Z T n1 2 X HnX= (x0+x1t+ +xn1t)t 0
2. (a)Justier lexistence dune matrice diagonaleDà coe¢ cients diagonaux strictement positifs, et dune T matrice orthogonalePtelles que :Hn=P DP. (b) Ondési p.) la plus petite (resp.la plus grande) valeur propre deH. gne parn(resn n n Montrer, pour tout vecteurXdeR, lencadrement suivant :
2t2 kXk nkXk6X HnX6n
3. OnnoteVle sous-espace propre deHnassocié à la valeur propre. n 2 T (a) SoitYun vecteurk. deVque. MontrerY HnY=nkY 2 n T (b) RékYk. Montre ciproquement, soitYun vecteur non nul deRvériantY HnY=nr queY appartient àV. 0 10 1 xjxj 0 0 x1jx1j 4. SoitX0=BCun vecteur non nul deV. OnnotejXj=BCle vecteur dont les composantes sont @ A@ A . . xn1jxn1j les valeurs absolues des composantes deX0.
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T T (a) EtabliH X. r linégalité :jX0jHnjX0j>X0n0 (b) Endéduire quejX0jest un élément deV. (c) Montrerque les composantes du vecteurHnjX0jsont toutes strictement positives.En déduire que le vecteurX0na aucune composante nulle. T T En utilisant le fait queXnX0=jX0jHnjX0j, montrer que les composantes (d)0HdeX0sont toutes de même signe.
5. (a)Montrer quil nexiste pas deux vecteurs non nuls deVorthogonaux. (b) Endéduire la dimension du sous-espace propreV
Partie II : Croissance et convergence de la suite() n n>1 On rappelle quedésign ne la plus grande valeur propre de la matriceHn. 0 1 0 x 0 0 x 1 0n 1. SoitX=B C2Run vecteur propre deHnassocié à. n @ A . 0 x n1 0 1 0 x 0 0 x 1 n+1 SoitZle vecteur deRdéni parZ=. . B C @ A 0 x n1 0 T0T0 te() Montrer queZ Hn+1Z=X HnXdéduire que la sui. Enn n>1est croissante. 2. Soit'et'deux fonctions dénies et continues sur le segment[a; b]deR. Ondénit le nombre complexe 1 2 b Z ('() +i'())dpar : 1 2 a b bb Z ZZ ('() +i'()d='()d+i '()d 1 21 2 a aa ix et on rappelle que pour tout réelx, on a :e= cosx+isinx. Z Z ik ik (a) Calculer,pour toutkdeZ, les deux nombres complexes :e dete d. 0 1 Z Z p i(p+1) (b) Montrer,pour tout entierpdeN, légalité :x dx=i ed. 1 0 (c) Endéduire, pour tout polynômePà coe¢ cients complexes, légalité : 1 Z Z i i P(x)x=i P(e)e 1 0 (d) Dansle cas oùPest un polynôme à coe¢ cients réels, établir linégalité suivante : 1 Z Z i P(x)dx6P(e)d 1 0
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0 1 x0 x1 n Dans les questions3et4, on désigne parX=BCun vecteur quelconque deR. @ A . x n1 1 Z T n1 2 3. (a)Etablir lencadrement :06X HnX6(x0+x1t+ +xn1t)dt. 1 Z T ii(n1)2 (b) Endéduire que lon a :06X HnX6x0+x1e+ +xn1e d. 0 n1 X ik2 4. (a)Soit'la fonction dénie surRpar :'() =xke. k=0 + Z Z 1 Montrer que'est2-périodique et paire ; en déduire légalité :'()d='()d. 2 0 2 T (b) Etablirlinégalité :X HnX6kXk (c) Endéduire que la suirée, puis quelle e te(n)n>1st convergente.est majo
Partie III : Limite de la suite() n 0 1 1 p 1=2 n Dans cette partie, le vecteurWdeRest déni parW=B C. @ A . p 1= n
1. Montrerles égalités suivantes : 1 ! n nZn 2 `1 X XX 1t T W HnW=p p=pdt k j(k+j1)` k=1j=1`=1 0 2. Endéduire, pourn>2, linégalité suivante : n p1 X X 1 1 T W HnW>p p p1 k pk p=2k=1 (on pourra utiliser le développement du produit de deux polynômes) Dans les questions suivantes,pest un entier supérieur ou égal à2. 1 3. (a)Etudier les variations de la fonctiongdénie sur]0; p[par :g(x) =p. x(px) (b) Endéduire, quelle que soit la parité dep, linégalité suivante : p1 p1Z X 1dx p>p k(pk)x(px) k=1 1
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p1 Z p dx 4. Justier la validité du changement de variablex=dans lintégralep, et établir la 2 1 +t x(px) 1 relation : p1 Z dx1 p=4 arctanp p1 x(px) 1 1 1 5. Onpose :up= arctanp. Montrerque la série de terme généralupest convergente. p1p1
2 6. (a)Montrer quekWkest équivalent àlnnlorsquentend vers+1 (b) Endéduire la limite de la suite()n>1. n