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Mathématiques I 2006 Classe Prepa HEC (S) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2006 sur Bankexam.fr.
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUESI Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Pour tout couple(p; q)dentiers strictement positifs, on noteMp;q(R)lensemble des matrices àplignes etq colonnes à coe¢ cients réels. T SiAest un élément quelconque deMp;q(R), on noteAla transposée deA. n Dans tout le problème, pourndansN, on identieRet lensembleMn;1(R)des matrices colonnes ànlignes n et à coe¢ cients réels.Lespace vectorielRest muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire de T deux vecteursXetYétant notéY >> X;ouY X. 0 1 x 0  ! 1=2 n1 x1pX n T2 Pour tout vecteurX=BCdeR, sa norme est donnée parkXk=X X=x. k @ A . k=0 x n1 2 Le module et le conjugué dun nombre complexezsont notés respectivementjzjetz. Onrappelle quejzj=zz. Le nombre complexe de module 1 et dargument=2est notéi.   (n) Lobjet du problème est létude de quelques propriétés de la matriceHn=h(appelée matrice de k;j 16k;j6n 1 (n) Hilbert) deMn;n(R), de terme génériqueh=, les entiersketjdécrivant[1; n]]. k;j k+j1 Pour tout entiernsupérieur ou égal à1, la matriceHnsécrit donc 0 1 1 1 1   2n 1 11    2 3n+ 1 H= n . . ... B C 1 11 @ A    n n2+ 1n1
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Préliminaire i h   On rappelle que la restriction de la fonction tangente à lintervalle;, admet une fonction réciproque notée 2 2 0 arctan. Onnote(arctan)sa dérivée.
0 1. (a)Pour tout réelx, rappeler lexpression de(arctan) (x)en fonction dex. 1(b) Montrer,pour toutxdeR, légalité :arctanx+ arctan=. + x2 (c) tablir,pour toutxdeR+, lencadrement :06arctanx6x. 1 2. (a)Montrer que la fonctiondénie surRpar(x) =est une densité de probabilité surR. 2 (1 +x) (b) SoitUune variable aléatoire réelle de densiténote. OnFsa fonction de répartition.Déterminer la loi de la variable aléatoireF(U). (c) Onrappelle que la fonction Pascalrandomrend un nombre aléatoire de lintervalle[0;1]suivant une loi uniforme sur cet intervalle.Écrire, dans le langage Pascal, une fonctionCauchysimulant la variable aléatoireU.
Partie I : Dimension du sous-espace propre associé à la plus grande valeur propre deH n 1 Z 2k+j2 1. Calculer,pour tout couple(k; j)de[1; n]], lintégralet dt. 0 0 1 x0 x1 n En déduire, pour tout vecteurX=B CdeR, légalité : @ A . x n1 1 Z T n1 2 X HnX= (x0+x1t+  +xn1t)t 0
2. (a)Justier lexistence dune matrice diagonaleDà coe¢ cients diagonaux strictement positifs, et dune T matrice orthogonalePtelles que :Hn=P DP. (b) Ondési p.) la plus petite (resp.la plus grande) valeur propre deH. gne parn(resn n n Montrer, pour tout vecteurXdeR, lencadrement suivant :
2t2 kXk nkXk6X HnX6n
3. OnnoteVle sous-espace propre deHnassocié à la valeur propre. n 2 T (a) SoitYun vecteurk. deVque. MontrerY HnY=nkY 2 n T (b) RékYk. Montre ciproquement, soitYun vecteur non nul deRvériantY HnY=nr queY appartient àV. 0 10 1 xjxj 0 0 x1jx1j 4. SoitX0=BCun vecteur non nul deV. OnnotejXj=BCle vecteur dont les composantes sont @ A@ A . . xn1jxn1j les valeurs absolues des composantes deX0.
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T T (a) EtabliH X. r linégalité :jX0jHnjX0j>X0n0 (b) Endéduire quejX0jest un élément deV. (c) Montrerque les composantes du vecteurHnjX0jsont toutes strictement positives.En déduire que le vecteurX0na aucune composante nulle. T T En utilisant le fait queXnX0=jX0jHnjX0j, montrer que les composantes (d)0HdeX0sont toutes de même signe.
5. (a)Montrer quil nexiste pas deux vecteurs non nuls deVorthogonaux. (b) Endéduire la dimension du sous-espace propreV
Partie II : Croissance et convergence de la suite() n n>1 On rappelle quedésign ne la plus grande valeur propre de la matriceHn. 0 1 0 x 0 0 x 1 0n 1. SoitX=B C2Run vecteur propre deHnassocié à. n @ A . 0 x n1 0 1 0 x 0 0 x 1 n+1 SoitZle vecteur deRdéni parZ=. . B C @ A 0 x n1 0 T0T0 te() Montrer queZ Hn+1Z=X HnXdéduire que la sui. Enn n>1est croissante. 2. Soit'et'deux fonctions dénies et continues sur le segment[a; b]deR. Ondénit le nombre complexe 1 2 b Z ('() +i'())dpar : 1 2 a b bb Z ZZ ('() +i'()d='()d+i '()d 1 21 2 a aa ix et on rappelle que pour tout réelx, on a :e= cosx+isinx.   Z Z ik ik (a) Calculer,pour toutkdeZ, les deux nombres complexes :e dete d. 0 1Z Z p i(p+1)(b) Montrer,pour tout entierpdeN, légalité :x dx=i ed. 1 0 (c) Endéduire, pour tout polynômePà coe¢ cients complexes, légalité : 1Z Z i i P(x)x=i P(e)e  1 0 (d) Dansle cas oùPest un polynôme à coe¢ cients réels, établir linégalité suivante : 1Z Z i P(x)dx6P(e)d 1 0
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0 1 x0 x1 n Dans les questions3et4, on désigne parX=BCun vecteur quelconque deR. @ A . x n1 1 Z T n1 2 3. (a)Etablir lencadrement :06X HnX6(x0+x1t+  +xn1t)dt. 1 Z   T ii(n1)2 (b) Endéduire que lon a :06X HnX6x0+x1e+  +xn1e d. 0 n1 X ik2 4. (a)Soit'la fonction dénie surRpar :'() =xke.   k=0 +Z Z 1 Montrer que'est2-périodique et paire ; en déduire légalité :'()d='()d. 2 02 T (b) Etablirlinégalité :X HnX6kXk (c) Endéduire que la suirée, puis quelle e te(n)n>1st convergente.est majo
Partie III : Limite de la suite() n 0 1 1 p 1=2 n Dans cette partie, le vecteurWdeRest déni parW=B C. @ A . p 1= n
1. Montrerles égalités suivantes : 1 ! n nZn 2 `1 X XX 1t T W HnW=p p=pdt k j(k+j1)` k=1j=1`=1 0 2. Endéduire, pourn>2, linégalité suivante : n p1 X X 1 1 T W HnW>p p p1 k pk p=2k=1 (on pourra utiliser le développement du produit de deux polynômes) Dans les questions suivantes,pest un entier supérieur ou égal à2. 1 3. (a)Etudier les variations de la fonctiongdénie sur]0; p[par :g(x) =p. x(px) (b) Endéduire, quelle que soit la parité dep, linégalité suivante : p1 p1Z X 1dx p>p k(pk)x(px) k=1 1
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p1 Z p dx 4. Justier la validité du changement de variablex=dans lintégralep, et établir la 2 1 +t x(px) 1 relation : p1 Z dx1 p=4 arctanp p1 x(px) 1   1 1 5. Onpose :up= arctanp. Montrerque la série de terme généralupest convergente. p1p1
2 6. (a)Montrer quekWkest équivalent àlnnlorsquentend vers+1 (b) Endéduire la limite de la suite()n>1. n
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