CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES II Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires discrètes.Il se compose de quatre parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.
Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.
On considère une urneUncontenantnboules numérotées de 1 àn: On tire une boule au hasard dansUn. Onnotekle numéro de cette boule. Sikest égal à 1, on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à 2, on enlève de lurneUn, les boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de 1 àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro 1. On noteXnla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro 1. On noteYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)etV(Yn)lespérance et la variance deXn(respectivementYn)
Partie 1. n P11 1 1. Onpose :hn1 ++= = +. k2n k=1
1/4
(a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)ln(k)6 k+ 1k oùlndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6hn61 + ln(n): (c) Déterminerun équivalent simple dehnquandntend vers linni. n P1 11 2. Onpose :kn+1 += = +. 2 2 k4n k=1 1 11 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à 2, linégalité :6. 2 k k1k (b) Endéduire la majoration :kn62: (c) Déterminerun équivalent simple dehnknquandntend vers linni.
Partie 2 :Étude de la variable aléatoire Xn.
On noteInla variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneUn. 1. (a)Quelle est la loi deIn? (b) Quelleest la loi conditionnelle deXnsachantIn= 1? (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer : 8j2N;8k2 f2;:::;ngP(Xn=j=In=k) =P(Xk1=j1)
2. (a)Quelle est la loi deX1? (b) Quelest lévénement(X2= 1)? Donnerla loi deX2son espérance et sa variance. (c) Déterminerla loi deX3son espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queXnprend ses valeurs dansf1; 2;:::;ng. (b) DéterminerP(Xn= 1)etP(Xn=n). (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer : n X 1 8j>2; P(Xn=j) =P(Xk=j1) n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à 3 etjsupérieur ou égal à 2, calculer : nP(Xn=j)(nl)P(Xn1=j): En déduire, sinest un entier supérieur ou égal à 2 : n1 1 8j>1P(Xn=j) =P(Xn1=j) +P(Xn1=j1): n n 1 4. (a)Sinest supérieur ou égal à 2, montrer, en utilisant 3.d :E(Xn) =E(Xn1) + n (b) EndéduireE(Xn)et donner un équivalent simple deE(Xn)quandntend vers linni. 2 2 périeur ou égal à 2, calculerE(Xen 5. (a)Sinest sun)fonction deE((Xn1) )et deE(Xn1). (b) Endéduire :V(Xn) =hnkn(en reprenant les notations introduites en Partie 1).
2/4
(c) Donnerun équivalent deV(Xn)quandntend vers linni. 6. Soit(Ti)i>1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutientier naturel non nul,Ti n 1P suit la loi de Bernoulli de paramètre. Onpose :Sn=Ti=T1+ +Tn i i=1 (a) VérierqueX1etT1ont même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer pour toutjentier naturel non nul : 1n1 8j>1P(Sn=j) =P(Sn1=j1) +P(Sn1=j): n n En déduire queXnetSnont même loi. (c) RetrouverainsiE(Xn)etV(Xn). n P k 7. Ondénit le polynômePnpar la relation :8x2R; Pn(x) =x P(Xn=k): k=0 (a) DéterminerP1etP2: n1 +x (b) Sinest supérieur ou égal à 2, à laide du 3.d., montrer :8x2R; Pn(x) =Pn1(x) n (c) EndéduirePn. (d) DéterminerP(Xn=n1) 0 (e) CalculerP(1)et retrouverE(X). n n
Partie 3 :Étude de la variable aléatoire Yn. 1. Donnerla loi deY1. 2. (a)Quelles sont les valeurs prises parY2? (b) Déterminerla loi deY2. 3. (a)Sinest supérieur ou égal à 2, montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à 2 : P(Y=j=I=k) =P(Y=jk): n nk1 (b) Sinest supérieur ou égal à 2, en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à 1 : n1 1 P(Yn=j) =P(Yn1=j) +P(Yn1=jn): n n (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer :E(Yn) =E(Yn1) + 1.Que vautE(Yn)pour tout entiernnon nul ?
Partie 4. On considère lurneUncontenantnboules numérotées entre 1 etn:À partir de lurneUn, on e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans len-tête du problème.Pourientier def1; 2;:::;ng, on dénitZla variable aléatoire égale i à 1 si, au cours de lun quelconque des tirages.on a obtenu la boule numéroi;égale à 0 sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZn? Quedire de la variableZ1? 2. (a)Sinest supérieur ou égal à 2 etiun entier def1; 2;:::;ng, montrer la relation : n X (n)1(k1) P(Z+= 1) =P(Z= 1) i i n k=i+1
3/4
(n) (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; 2;:::;ng,Zsuit la loi de Bernoulli i 1 de paramètre: i n P (n) 3. QuevautZ? RetrouverainsiE(Xn): i i=1 4. RetrouverE(Yn).