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Mathématiques II 2002 BTS Informatique de gestion

2 pages
Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques II 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2002 sur Bankexam.fr.
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BTS INFORMATIQUE DE GESTION
SESSION 2002
Durée :
1 heure
Coefficient :
1
ÉPREUVE
FACULTATIVE
Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet.
Soit
f
la fonction de la variable réelle
x
définie sur
¡
par :
( )
(
)
e
e
x
x
f x
x
-
=
+
.
1)
Montrer qu’on peut écrire
f
(
x
) = 2
x
+
x
3
+
x
3
ε
(
x
)
avec
0
lim
x
ε
(
x
) = 0.
2)
Calculer à l’aide d’une intégration par parties la valeur exacte de l’intégrale
I =
1
0
d
)
(
x
x
f
.
3)
Calculer la valeur exacte de l’intégrale
J =
1
3
0
(2
) d .
x
x
x
+
ò
4)
Vérifier que :
| I – J | < 0,02.
Les probabilités seront données sous la forme décimale arrondie à
3
10
-
près.
La fonction de fiabilité d’un composant
C
est définie par :
R
(
t
) =
0,0125
e
t
-
, (t en jours).
On note
X
la durée de vie aléatoire (en jours) du composant C.
1)
Quel est le temps moyen de bon fonctionnement du composant C ?
2)
Quelle est la probabilité que le composant C fonctionne encore au bout de 60 jours ?
3)
Au bout de combien de jours la fiabilité deviendra t-elle inférieure à 0,1 ?
4)
Un dispositif utilise 4 composants C identiques, fonctionnant simultanément et
de manière indépendante. Le dispositif est
opérationnel
si
au moins 3
de ces
composants fonctionnent.
On note
F
le nombre aléatoire de composants qui fonctionneront encore dans
60
jours, et on admet que F suit la loi binomiale
b
(4 ; 0,47).
Quelle est la probabilité que le dispositif soit opérationnel dans 60 jours ?
EF2 :
MATHÉMATIQUES
II
EXERCICE
N° 1
(
10 points)
EXERCICE
N° 2
(
10 points)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BTS
Informatique de Gestion
Session 2002
Corrigé de l’épreuve de mathématiques EF2
Sujet
B
Page 1 sur 1
CORRIGE DU SUJET :
B
BTS INFORMATIQUE DE GESTION
SESSION 2002
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
EF2
Question
Correction
Barème
proposé
Exercice I
1)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
2
2
1
1
0
2
2
2
2
0
2
2
3
3
0
e
1
avec
lim
0
(l'ordre 2 suffit).
2
e
1
avec
lim
0
2
On en déduit :
2
2
, avec
lim
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
= +
+
+
=
= -
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
3
2)
Posons, pour le calcul de I
:
( )
( )
( )
( )
'
1
'
e
e
e
e
x
x
x
x
u x
x
u
x
v
x
v x
-
-
=
=
=
+
=
-
, on obtient :
(
)
(
)
(
)
1
1
1
0
0
0
2
I
e
e
e
e
d
e
e
e
e
2
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
-
-
-
-
=
-
×
-
-
=
-
×
-
-
=
-
3
3)
1
4
2
0
5
.
4
4
x
J
x
é
ù
=
+
=
ê
ú
ë
û
2,5
4)
3
2
5
2
0,014 à 10 près. On a bien
0,02.
4
I
J
I
J
e
-
-
=
-
-
=
-
<
1,5
Exercice II
1)
La MTBF est
1
λ
, avec ici
0,0125
λ
=
. La MTBF est donc égale à 80 jours.
2
2)
La probabilité demandée est donnée par :
(
)
(
)
0,0125 60
0,75
3
P X
60
60
e
e
0,472 (valeur arrondie à 10 près).
R
-
´
-
-
>
=
=
=
=
2
3)
( )
0,0125
ln10
0,1
e
0,1
0,0125
ln0,1
.
0,0125
ln10
184,2 : la fiabilité deviendra inférieure à 0,1 à partir de 185 jours.
0,0125
t
R t
t
t
-
<
Û
<
Û -
<
Û
>
»
3
4)
Le dispositif est encore opérationnel au bout de 60 jours si
F
3
³
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
1
4
0
3
4
4
4
P F
3
P F = 3
P F = 4
0, 47
0,53
0, 47
0,53
0, 269.
C
C
³
=
+
=
´
+
´
=
3