Mathématiques II 2004 Classe Prepa PC Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

A 2004 Math PC 2

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2004

´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePC (Dure´edel’´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Fili`erePC.

Cete´nonce´comporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd’´enonce´,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilestamen´ea`prendre.

p Danstoutleproble`mel’entiernest strictement positif(n≥1) ; l’expressionCde´isnglenemoerb n des parties ayantp’usdntme´eel´deemelbensnnnotautrets.Aemene´´lnoit:   p n C=. n p

Premi`erepartie

Soit (u n () etP n eefisndieepsoplaynlˆeosmseusid´titnos)siulrseeralntva:es n∈Nn∈N n n 1d n u n (x) =x(x−1) ;P n (x) =u n (x). n n!dx Int´egraledelafonctionu n sur le segmentK= [0,1] : ´ 1.Etantdonne´sunre´elstrictementpositifa(a >0) et un entier naturelk(k∈Nrenort),emd´ l’existencedel’int´egraleI a, k :nfie´dsed-iceilaetussoerullcca Z 1 a−1 k I a, k =x(x−1)dx. 0 2.De´duiredur´esultatpr´ece´dentlavaleurdel’inte´graledelafonctionu n ,nete´mentusegduea n K= [0,1],meffieocneicbudtoˆninoudcnitneofC: 2n

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Z 1 n n x(x−1)dx. 0 PolynˆomesP n : 3.De´terminerledegr´edupolynoˆmeP n eplushauontermedicnedtsereelocffieesice´rptgedt.e´r

4.D´eterminerdedeuxmani`eresdiffe´renteslepolynˆomeP n i:olsaspnrexp’eelndioativre´drap,ere`imer n n deu n itdurobtoueen`rpa´dseleveeppoment;laseconde,pra´drevitaoidnpux(x−;l)1tluse´rearesta n−k k exprim´eenfonctiond’expressionsdutypex(x−1) .

5.End´eduirelarelation:

n X   2 n k C=C . 2n n k=0

Deuxi`emepartie ´ Etantdonn´esdeuxre´elsaetb, strictement positifs (a >0>, b0), soitJ(a, busviarel:naet)t´egl’in Z 1 a−1 t J(a, b) =dt. b 1 +t 0 Inte´graleJ(a, b) : ´ 6.Etudierl’existencedel’inte´graleJ(a, b). k 7.De´montrerquel’int´egraleJ(a, b(alern´´eegmretedeire´saledommealasale`t´eg)se−1)/(a+k b), k∈N: ∞ k X (−1) J(a, b) =. a+k b k=0 8.Ende´duirelasommedelase´riesuivante: 1 11 1 S= 1−+−+ +. . . . 4 7 10 13 ´ Etantdonn´eunr´eelastrictement compris entre−1 et 1 (−1< a <1), soitϕ a nctiond´efiniesurofal l’intervalle ouvertI= ]−1,1[ par la relation suivante : 1 ϕ a (x) = √ . 2 (1−a x) 1−x 9.D´emontrerquelafonctionϕ a lloevurei’tnreavtseleabrlsunttigr´eI. SoitK(aoinela)flo’nicntt´egraledϕ a neud`ela´teellnt’ivaerI: Z 1 1 K(a) = √ dx. 2 −1 (1−a x) 1−x 10.D´emontrer,pourtoutre´elatrevuoellavretnil’`antnatearppaI= ]−1,1[,la relation suivante : ∞ Z 1 2 k X x 2k K(a) =a √ dx. 2 −1 1−x k=0

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11.De´terminer,enadmettantlere´sultatsuivant π K(a) = √ , 2 1−a lede´veloppementens´erieenti`eredelafonctionK:a7−→K(aansu)dice´resnigirP.edegeorl’oinvnasi le rayon de convergence. 12. Exprimer,pour tout entiernarel´tgel’inurdevalef,laitisoptnemetcirtsL n ci-dessous en fonction n ducoefficientdubinˆomeC: 2n Z 1 2 n x L n = √ dx. 2 −1 1−x Troisie`mepartie

Soitfalfonctiond´efiniesalruimedord-oetieruv]te−∞,1[ par la relation suivante : 1 f(t) = √ . 1−t Soitgleouvertefid´ontincfolalavretni’lruseinI= ]−1,1[ par la relation suivante : arcsin (x) g(x) = √ . 2 1−x

D´eveloppementense´rieenti`eredelafonctionfdans un voisinage de0 : 13.D´eterminerlede´veloppementense´rieentie`redelafonctionfdans un voisinage de l’origine 0. ∗ Pre´ciserlerayondeconvergencedelas´erieentie`re.D´eterminerdescoefficientsα n , n∈Nued,efa¸conq ced´eveloppements’e´crivesouslaformesuivante: ∞ X 1 n n f(t) = √ = 1 +. α n C 2n t 1−t n=1 D´eveloppementense´rieentie`redelafonctiongdans un voisinage de0 : ´ 14. Etablirque la fonctiongenereltilileean´derierpureimrdroe.v´erifienu´eqeauitnoid´ff 15.End´eduirelede´veloppementens´erieentie`redelafonctiongleecr´erisdegaP.0esonvandunisi rayon de convergenceRnti`ereoas´erieedle.eunetb ´ 16.Etablir,lorsquelere´elxvertleourvalintea`’leitnaptrpae´saeeir`itnerecodeernvncgeeled, l’expression ci-dessous deg(x) : ∞ 2n−1 X 2 2n−1 g(x) =x . n n C 2n n=1 17.De´duiredesr´esultatspr´ece´dentslasommeΣdelase´riesuivante: 2 12.24 1.4.6 1 Σ = 1 +.+.+.+. . . . 2 3 3 23.5 23.5.7 2 Soithtcoidne´lfano’intervafiniesurltoellrevuI= ]−1,1[ par la relation suivante : 2 x xarcsin (x) h(x) =+. 2 3 /2 2 1−x (1−x)

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