CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE Dans cet exercice,ndésigne un entier supérieur ou égal à 2,etdeux nombres réels strictement positifs etB la matrice deMn(R)suivante : 0 1 00: : :: : :0 . . 0.. 8 . . .<bi;j=sij=i+ 1 . . . 0. . .. B=;cest à direB= (bi;j)a=avecbi;j=sij=i1 . . .. . . ..: .. . ..0bi;j= 0sinon B.C . @..0A 0: : :: : :00 On sintéresse aux valeurs propres deBet pour cela, pouraréel, on noteAa=BaIn, oùIndésigne la matrice unité dordren. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1.Exemple .Dans cette question, on considère la matriceB1 0 1 0= 0 B C @ A 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 (a) LamatriceBest-elle diagonalisable?
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5 (b) Déterminerles valeurs propres et les vecteurs propres de lendomorphisme deRcanoniquement associé à la matriceB: On revient maintenant au cas général.On dira quune suite(uk)k2Nvérie la propriété (R) lorsque lon a, pour toutkdeN:ukauk+1+uk+2= 0 0 1 x1 x2 2. Montrerquun vecteurX=BCdeMn;1(R)vérieAaX= 0si et seulement si, @ A . x n en posantx0=xn+1= 0, les nombresx0; x1; :::; xn; xn+1sont lesn+ 2premiers termes dune suite vériant (R).
2 3. Onsuppose dans cette question quea >4.
(a) Déterminerlensemble des suites vériant(R) (b) Montrerque si un vecteurXdeMn;1(R)vérieAaX= 0, alorsXest le vecteur nul.
2 4. Onsuppose dans cette question quea= 4.
(a) Déterminerlensemble des suites vériant(R). (b) Montrerque si un vecteurXdeMn;1(R)vérieAaX= 0, alorsXest le vecteur nul. p p 5. (a)En déduire que siBadmet des valeurs propres, elles appartiennent à lintervalle]2;2[ (b) Unthéorème classique dû à Jacques Hadamard, a¢ rme que si le réelaest valeur propre deB, alors jaj6+(ce théorème nest pas à démontrer). Le résultat que lon a obtenu en [5)a:]est-il meilleur que le résultat du théorème dHadamard?
Problème Ce problème a pour objet principal la modélisation dun processus aléatoire ponctuel (discret) représenté par une suit de variables aléatoires de Bernoulli.Ce modèle est ensuite approché par un modèle continu, et dans la dernière partie, on sintéresse, dans un cas particulier, à ladéquation de ce modèle continu au modèle discret initial. Dans tout le problème,désigne un nombre réel de lintervalle ouvert]0;1[.
Partie I : Modèle discret. On suppose donnée une suite(Xn)n2Nde variables aléatoires de Bernoulli, dénies sur un espace probabilisé (;A; P). PourtoutndeN, on notepnle paramètre de la variable aléatoireXn. On suppose quep0appartient à lintervalle ouvert]0;1[et que pour toutndeN, on a les probabilités conditionnelles suivantes : P(X tP(Xn=0)(Xn+1= 1) =P(Xn= 1) =pn (Xn=1)n+1= 1) =P(Xn= 1) =pne [On rappelle que la probabilité conditionnellePA(B)peut aussi se noterP(B=A)] 2 1. (a)Montrer que pour tout entierndeN, on a :p= (1)p+p. n+1n n (b) Endéduire que pour tout entierndeN, on a :0< pn<1 2. (a)Montrer que la suite(pn)n2Nest convergent et déterminer sa limite. n (b) Onposea= (1)p0+. Établir,pour toutndeN, linégalité :pn6a. En déduire que la série de terme généralpnest convergente.
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n X 3. PourtoutndeN, on dénit la variable aléatoireYnpar :Yn=Xket on noteE(Yn)son espérance. k=0 (a) Justierlexistence de la limiteLde la suite(E(Yn)). n2N (b) Ecrireune fonction Pascal permettant de calculer une valeur approchée deE(Yn). Len-têtede cette fonction sera : function approx( n :integer ; p0, lambda :real) :real
4. (a)Exprimer, pour toutndeN, la covarianceCov(X ;X)deXetXen fonction depetp. n n+1n n+1n n+1 Les variablesXnetXn+1sont-elles indépendantes ? p n+1 (b) Montrerquelim =. p n!1 n (c) PourtoutndeN, on noterle coe¢ cient de corrélation linéaire entreXetX: n nn+1 Cov(Xn; Xn+1) rn=poùVdésigne la variance V(Xn)V(Xn+1) Exprimerrnen fonction depnetpn+1. 1 Montrer que lorsquentend vers+1,rnest équivalent àppn
Partie II : Simulation. On rappelle que la fonction Pascalrandomsimule une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur lintervalle [0;1]. SoitNun entier naturel non nul et inférieur ou égal à200. On considère la suite nie desN+ 1variables aléatoiresX0; X1; :::; XNvériant les conditions de la partie I, modélisée par larbre pondéré suivant, et on note encoreYN=X0+ +XN.
On cherche à étudier cette situation à laide du programme suivant :
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Program evaluation; var lambda,p0 : real;
function bernoulli(p:real):integer; begin if random <= p then bernoulli :=1 else bernoulli :=0; end;
function simulation(N:integer):integer; var c,i,x : integer; a,p,q :real; begin p:=p0; x:=bernoulli(p); c:=x; for i:=1 to N do begin q:=p; if x=0 then q:=p*lambda; x:=bernoulli(q); c:=c+x; p:= (1-lambda)*p*p + lambda * p; end; simulation:=c; end;
var y,k, N :integer ; T: array[0..200] of integer; begin readln(lambda);readln(p0);readln(N);randomize; for k:=0 to N do T[k]:=0; for k:=1 to 10000 do begin y:=simulation(N); T[y] := T[y]+1; end; for k:=0 to N do begin write(T[k]); write( ); end; readln; end.
1. Expliquerle résultat rendu par la fonctionbernoulli.
2. Expliquerle fonctionnement de la fonctionsimulationet donner en particulier la signication du résultat rendu.
3. LeprogrammeevaluationEn se référant à la loi faible des grandspermet de simuler une variable aléatoire. nombres, quelle loi de probabilité peut-on simuler grâce à ce programme?
Partie III : Modèle continu. soit`tel que0< ` <1et soitTun réel strictement positif.Pour touttde[0; T], on dénit une variable aléatoireX(t)sur un espace probabilisé(;A; P)qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep(t), cest à dire que 0 :p(t) =P(X(t) = 1)suppose que la fonction. Onpest dénie et dérivable sur[0; T], de dérivéep, et vérie la relation : 0 8t2[0; T]p(t) = (1`)p(t)(p(t)1) On notep(0) =p0et on suppose quep0appartient à lintervalle ouvert]0;1[. (1`)t 1. Soitfla fonction dénie sur[0; T]parf(t) =p(t)eque. Montrerfest croissante sur[0; T]et en déduire que la fonctionpne sannule pas sur[0; T].
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(1`)t e 0 2. (a)Soitgla fonction dénie sur[0; T]par :g(t) =. Exprimerg(t)en fonction de`ettet en p(t) (`1)t déduire quil existe une constantektelle que, pour touttde[0; T],g(t) =k+e. p 0 (b) Montrerque, pour touttde[0; T], on a :p(t) =. (1`)t p0+ (1p0)e (c) Dresser le tableau de variations depsur[0; T]. Soit(C)la courbe représentative depdans le plan rapporté à un repère orthogonal.À quelle condition, portant surp0, la courbe(C)présente-t-elle un point dinexion?Quelles sont alors les coordonnées de ce point? T 3. Pourtoutn2N, on note=et pour toutk2[0; n]],tk=k. n n X Pour toutn2N, on dénit la variable aléatoireZnpar :Zn=X(tk), despéranceE(Zn). k=0 T Z E(Zn) 1 (a) Montrerque la suiteest convergente et de limitep(t)dt. Cettelimite sera notée nT n2N 0 m(T)dans la suite de cette partie. T Z (1`)t (b) Justierla validité du changement de variableu=edans lintégralep(t)dtet en déduire que 0 lon a : (1`)T e Z 1 11p0 m(T) =du (1`)T up0+ (1p0)u 1 (c) Endéduire une expression dem(T)en fonction dep0,`etTet montrer que , lorsqueTtend vers+1, ln(1p0) p0et`étant xés,m(T)est équivalent à (1`)T
Partie IV : Retour au modèle discret. 1 1 Soitnun entier naturel non xé.Avec les notations des parties I et III, on suppose quep0=,`=et 3 2 T= 2n(1).
1. Montrerque la fonctionpdénie dans la partie III est deux fois dérivable sur[0; T], et montrer que pour 1 00 00 touttde[0; T]:p(t(2) =p(t)1)p(t)(p(t)1)oùpdésigne la dérivée seconde dep. 4 T 2. Onrappelle que pour toutkde[0; n]],tk=k=ket quepka été déni dans la partie I. n Pour toutkde[0; n]], on pose"k=p(tk)pk.
(a) Vérierque pour tout réel >18(1), on aN()>0. p(tk)pk (b) Montrerque sin6N(), alors pour toutkde[0; n]], on a :6. p(tk)
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(c) Montrerque, pourxé,limN() = +1 !1 (d) Conclure sur la qualité de lapproximation du modèle discret par le modèle continu, lorsquese rapproche" de1.