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Mathématiques III 2006 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques III 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2006 sur Bankexam.fr.
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE Dans cet exercice,ndésigne un entier supérieur ou égal à 2,etdeux nombres réels strictement positifs etB la matrice deMn(R)suivante : 0 1 00: : :: : :0 . . 0.. 8 . . .<bi;j=sij=i+ 1 . . . 0. . .. B=;cest à direB= (bi;j)a=avecbi;j=sij=i1 . . .. . . ..: .. . ..0bi;j= 0sinon B.C . @..0A 0: : :: : :00 On sintéresse aux valeurs propres deBet pour cela, pouraréel, on noteAa=BaIn, oùIndésigne la matrice unité dordren. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1.Exemple .Dans cette question, on considère la matriceB1 0 1 0= 0 B C @ A 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 (a) LamatriceBest-elle diagonalisable?
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5 (b) Déterminerles valeurs propres et les vecteurs propres de lendomorphisme deRcanoniquement associé à la matriceB: On revient maintenant au cas général.On dira quune suite(uk)k2Nvérie la propriété (R) lorsque lon a, pour toutkdeN:ukauk+1+uk+2= 0 0 1 x1 x2 2. Montrerquun vecteurX=BCdeMn;1(R)vérieAaX= 0si et seulement si, @ A . x n en posantx0=xn+1= 0, les nombresx0; x1; :::; xn; xn+1sont lesn+ 2premiers termes dune suite vériant (R).
2 3. Onsuppose dans cette question quea >4.
(a) Déterminerlensemble des suites vériant(R) (b) Montrerque si un vecteurXdeMn;1(R)vérieAaX= 0, alorsXest le vecteur nul.
2 4. Onsuppose dans cette question quea= 4.
(a) Déterminerlensemble des suites vériant(R). (b) Montrerque si un vecteurXdeMn;1(R)vérieAaX= 0, alorsXest le vecteur nul. p p 5. (a)En déduire que siBadmet des valeurs propres, elles appartiennent à lintervalle]2;2[ (b) Unthéorème classique dû à Jacques Hadamard, a¢ rme que si le réelaest valeur propre deB, alors jaj6+(ce théorème nest pas à démontrer). Le résultat que lon a obtenu en [5)a:]est-il meilleur que le résultat du théorème dHadamard?
Problème Ce problème a pour objet principal la modélisation dun processus aléatoire ponctuel (discret) représenté par une suit de variables aléatoires de Bernoulli.Ce modèle est ensuite approché par un modèle continu, et dans la dernière partie, on sintéresse, dans un cas particulier, à ladéquation de ce modèle continu au modèle discret initial. Dans tout le problème,désigne un nombre réel de lintervalle ouvert]0;1[.
Partie I : Modèle discret. On suppose donnée une suite(Xn)n2Nde variables aléatoires de Bernoulli, dénies sur un espace probabilisé (;A; P). PourtoutndeN, on notepnle paramètre de la variable aléatoireXn. On suppose quep0appartient à lintervalle ouvert]0;1[et que pour toutndeN, on a les probabilités conditionnelles suivantes : P(X tP(Xn=0)(Xn+1= 1) =P(Xn= 1) =pn (Xn=1)n+1= 1) =P(Xn= 1) =pne [On rappelle que la probabilité conditionnellePA(B)peut aussi se noterP(B=A)] 2 1. (a)Montrer que pour tout entierndeN, on a :p= (1)p+p. n+1n n (b) Endéduire que pour tout entierndeN, on a :0< pn<1 2. (a)Montrer que la suite(pn)n2Nest convergent et déterminer sa limite. n (b) Onposea= (1)p0+. Établir,pour toutndeN, linégalité :pn6a. En déduire que la série de terme généralpnest convergente.
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n X 3. PourtoutndeN, on dénit la variable aléatoireYnpar :Yn=Xket on noteE(Yn)son espérance. k=0 (a) Justierlexistence de la limiteLde la suite(E(Yn)). n2N (b) Ecrireune fonction Pascal permettant de calculer une valeur approchée deE(Yn). Len-têtede cette fonction sera : function approx( n :integer ; p0, lambda :real) :real
4. (a)Exprimer, pour toutndeN, la covarianceCov(X ;X)deXetXen fonction depetp. n n+1n n+1n n+1 Les variablesXnetXn+1sont-elles indépendantes ?   p n+1 (b) Montrerquelim =. p n!1 n (c) PourtoutndeN, on noterle coe¢ cient de corrélation linéaire entreXetX: n nn+1 Cov(Xn; Xn+1) rn=pVdésigne la variance V(Xn)V(Xn+1) Exprimerrnen fonction depnetpn+1. 1Montrer que lorsquentend vers+1,rnest équivalent àppn
Partie II : Simulation. On rappelle que la fonction Pascalrandomsimule une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur lintervalle [0;1]. SoitNun entier naturel non nul et inférieur ou égal à200. On considère la suite nie desN+ 1variables aléatoiresX0; X1; :::; XNvériant les conditions de la partie I, modélisée par larbre pondéré suivant, et on note encoreYN=X0+  +XN.
On cherche à étudier cette situation à laide du programme suivant :
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Program evaluation; var lambda,p0 : real;
function bernoulli(p:real):integer; begin if random <= p then bernoulli :=1 else bernoulli :=0; end;
function simulation(N:integer):integer; var c,i,x : integer; a,p,q :real; begin p:=p0; x:=bernoulli(p); c:=x; for i:=1 to N do begin q:=p; if x=0 then q:=p*lambda; x:=bernoulli(q); c:=c+x; p:= (1-lambda)*p*p + lambda * p; end; simulation:=c; end;
var y,k, N :integer ; T: array[0..200] of integer; begin readln(lambda);readln(p0);readln(N);randomize; for k:=0 to N do T[k]:=0; for k:=1 to 10000 do begin y:=simulation(N); T[y] := T[y]+1; end; for k:=0 to N do begin write(T[k]); write( ); end; readln; end.
1. Expliquerle résultat rendu par la fonctionbernoulli.
2. Expliquerle fonctionnement de la fonctionsimulationet donner en particulier la signication du résultat rendu.
3. LeprogrammeevaluationEn se référant à la loi faible des grandspermet de simuler une variable aléatoire. nombres, quelle loi de probabilité peut-on simuler grâce à ce programme?
Partie III : Modèle continu. soit`tel que0< ` <1et soitTun réel strictement positif.Pour touttde[0; T], on dénit une variable aléatoireX(t)sur un espace probabilisé(;A; P)qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep(t), cest à dire que 0 :p(t) =P(X(t) = 1)suppose que la fonction. Onpest dénie et dérivable sur[0; T], de dérivéep, et vérie la relation : 0 8t2[0; T]p(t) = (1`)p(t)(p(t)1) On notep(0) =p0et on suppose quep0appartient à lintervalle ouvert]0;1[. (1`)t 1. Soitfla fonction dénie sur[0; T]parf(t) =p(t)eque. Montrerfest croissante sur[0; T]et en déduire que la fonctionpne sannule pas sur[0; T].
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(1`)t e 0 2. (a)Soitgla fonction dénie sur[0; T]par :g(t) =. Exprimerg(t)en fonction de`ettet en p(t) (`1)t déduire quil existe une constantektelle que, pour touttde[0; T],g(t) =k+e. p 0 (b) Montrerque, pour touttde[0; T], on a :p(t) =. (1`)t p0+ (1p0)e (c) Dresser le tableau de variations depsur[0; T]. Soit(C)la courbe représentative depdans le plan rapporté à un repère orthogonal.À quelle condition, portant surp0, la courbe(C)présente-t-elle un point dinexion?Quelles sont alors les coordonnées de ce point? T 3. Pourtoutn2N, on note=et pour toutk2[0; n]],tk=k. n n X Pour toutn2N, on dénit la variable aléatoireZnpar :Zn=X(tk), despéranceE(Zn). k=0 T  Z E(Zn) 1 (a) Montrerque la suiteest convergente et de limitep(t)dt. Cettelimite sera notée nT n2N 0 m(T)dans la suite de cette partie. T Z (1`)t (b) Justierla validité du changement de variableu=edans lintégralep(t)dtet en déduire que 0 lon a : (1`)T e Z 1 11p0 m(T) =du (1`)T up0+ (1p0)u 1 (c) Endéduire une expression dem(T)en fonction dep0,`etTet montrer que , lorsqueTtend vers+1, ln(1p0) p0et`étant xés,m(T)est équivalent à(1`)T
Partie IV : Retour au modèle discret. 1 1 Soitnun entier naturel non xé.Avec les notations des parties I et III, on suppose quep0=,`=et 3 2 T= 2n(1).
1. Montrerque la fonctionpdénie dans la partie III est deux fois dérivable sur[0; T], et montrer que pour 1 00 00 touttde[0; T]:p(t(2) =p(t)1)p(t)(p(t)1)pdésigne la dérivée seconde dep. 4 T 2. Onrappelle que pour toutkde[0; n]],tk=k=ket quepka été déni dans la partie I. n Pour toutkde[0; n]], on pose"k=p(tk)pk.
2 0 (a) Établir,pour toutkde[0; n1]], linégalité suivante :jp(tk+1p(tk)p(tk)j6. 8 0 (b) Établir,pour toutkde[0; n1]], légalité :p(tk) +p(tk)pk+1="k[1(1)(1p(tk)pk)]. 2 1 (c) Endéduire, pour toutkde[0; n1]], linégalité suivante :j"k+1j6+ (+ 2)j"kj. 8 3 (d) Établir,pour toutkde[0; n]], linégalité :j"kj66(1).   11 3. Pourtout réeltel que >18(1), on pose :N(ln) =. 112(1) 2
(a) Vérierque pour tout réel >18(1), on aN()>0. p(tk)pk (b) Montrerque sin6N(), alors pour toutkde[0; n]], on a :6.   p(tk)
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(c) Montrerque, pourxé,limN() = +1 !1 (d) Conclure sur la qualité de lapproximation du modèle discret par le modèle continu, lorsquese rapproche" de1.
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