Mathématiques III 2006 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques III 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2006 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 86
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

EXERCICE Dans cet exercice,ndésigne un entier supérieur ou égal à 2,etdeux nombres réels strictement positifs etB la matrice deM n (R)suivante : 0 1 00: : :: : :0 . . 0 . . 8 . . . < b i;j =sij=i+ 1 . . . 0 . . . . B=;cest à direB= (b i;j )a=avec b i;j =sij=i1 . . .. . . .. : . . . .. 0 b i;j = 0sinon B . C . @ . . 0 A 0: : :: : :00 On sintéresse aux valeurs propres deBet pour cela, pouraréel, on noteA a =BaI n , oùI n désigne la matrice unité dordren. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1.Exemple .Dans cette question, on considère la matriceB 1 0 1 0= 0 B C @ A 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 (a) LamatriceBest-elle diagonalisable?

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5 (b) Déterminerles valeurs propres et les vecteurs propres de lendomorphisme deRcanoniquement associé à la matriceB: On revient maintenant au cas général.On dira quune suite(u k ) k2N vérie la propriété (R) lorsque lon a, pour toutkdeN:u k au k+1 +u k+2 = 0 0 1 x 1 x 2 2. Montrerquun vecteurX= BC deM n;1 (R)vérieA a X= 0si et seulement si, @ A . x n en posantx 0 =x n+1 = 0, les nombresx 0 ; x 1 ; :::; x n ; x n+1 sont lesn+ 2premiers termes dune suite vériant (R).

2 3. Onsuppose dans cette question quea >4.

(a) Déterminerlensemble des suites vériant(R) (b) Montrerque si un vecteurXdeM n;1 (R)vérieA a X= 0, alorsXest le vecteur nul.

2 4. Onsuppose dans cette question quea= 4.

(a) Déterminerlensemble des suites vériant(R). (b) Montrerque si un vecteurXdeM n;1 (R)vérieA a X= 0, alorsXest le vecteur nul. p p 5. (a)En déduire que siBadmet des valeurs propres, elles appartiennent à lintervalle]2;2[ (b) Unthéorème classique dû à Jacques Hadamard, a¢ rme que si le réelaest valeur propre deB, alors jaj6+(ce théorème nest pas à démontrer). Le résultat que lon a obtenu en [5)a:]est-il meilleur que le résultat du théorème dHadamard?

Problème Ce problème a pour objet principal la modélisation dun processus aléatoire ponctuel (discret) représenté par une suit de variables aléatoires de Bernoulli.Ce modèle est ensuite approché par un modèle continu, et dans la dernière partie, on sintéresse, dans un cas particulier, à ladéquation de ce modèle continu au modèle discret initial. Dans tout le problème,désigne un nombre réel de lintervalle ouvert]0;1[.

Partie I : Modèle discret. On suppose donnée une suite(X n ) n2N de variables aléatoires de Bernoulli, dénies sur un espace probabilisé (;A; P). PourtoutndeN, on notep n le paramètre de la variable aléatoireX n . On suppose quep 0 appartient à lintervalle ouvert]0;1[et que pour toutndeN, on a les probabilités conditionnelles suivantes : P(X tP (X n =0) (X n+1 = 1) =P(X n = 1) =p n (X n =1) n+1 = 1) =P(X n = 1) =p n e [On rappelle que la probabilité conditionnelleP A (B)peut aussi se noterP(B=A)] 2 1. (a)Montrer que pour tout entierndeN, on a :p= (1)p+p. n+1n n (b) Endéduire que pour tout entierndeN, on a :0< p n <1 2. (a)Montrer que la suite(p n ) n2N est convergent et déterminer sa limite. n (b) Onposea= (1)p 0 +. Établir,pour toutndeN, linégalité :p n 6a. En déduire que la série de terme généralp n est convergente.

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n X 3. PourtoutndeN, on dénit la variable aléatoireY n par :Y n =X k et on noteE(Y n )son espérance. k=0 (a) Justierlexistence de la limiteLde la suite(E(Y n )). n2N (b) Ecrireune fonction Pascal permettant de calculer une valeur approchée deE(Y n ). Len-têtede cette fonction sera : function approx( n :integer ; p0, lambda :real) :real

4. (a)Exprimer, pour toutndeN, la covarianceCov(X ;X)deXetXen fonction depetp. n n+1n n+1n n+1 Les variablesX n etX n+1 sont-elles indépendantes ?   p n+1 (b) Montrerquelim =. p n!1 n (c) PourtoutndeN, on noterle coe¢ cient de corrélation linéaire entreXetX: n nn+1 Cov(X n ; X n+1 ) r n = p oùVdésigne la variance V(X n )V(X n+1 ) Exprimerr n en fonction dep n etp n+1 . 1 Montrer que lorsquentend vers+1,r n est équivalent à p p n 

Partie II : Simulation. On rappelle que la fonction Pascalrandomsimule une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur lintervalle [0;1]. SoitNun entier naturel non nul et inférieur ou égal à200. On considère la suite nie desN+ 1variables aléatoiresX 0 ; X 1 ; :::; X N vériant les conditions de la partie I, modélisée par larbre pondéré suivant, et on note encoreY N =X 0 +  +X N .

On cherche à étudier cette situation à laide du programme suivant :

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Program evaluation; var lambda,p0 : real;

function bernoulli(p:real):integer; begin if random <= p then bernoulli :=1 else bernoulli :=0; end;

function simulation(N:integer):integer; var c,i,x : integer; a,p,q :real; begin p:=p0; x:=bernoulli(p); c:=x; for i:=1 to N do begin q:=p; if x=0 then q:=p*lambda; x:=bernoulli(q); c:=c+x; p:= (1-lambda)*p*p + lambda * p; end; simulation:=c; end;

var y,k, N :integer ; T: array[0..200] of integer; begin readln(lambda);readln(p0);readln(N);randomize; for k:=0 to N do T[k]:=0; for k:=1 to 10000 do begin y:=simulation(N); T[y] := T[y]+1; end; for k:=0 to N do begin write(T[k]); write( ); end; readln; end.

1. Expliquerle résultat rendu par la fonctionbernoulli.

2. Expliquerle fonctionnement de la fonctionsimulationet donner en particulier la signication du résultat rendu.

3. LeprogrammeevaluationEn se référant à la loi faible des grandspermet de simuler une variable aléatoire. nombres, quelle loi de probabilité peut-on simuler grâce à ce programme?

Partie III : Modèle continu. soit`tel que0< ` <1et soitTun réel strictement positif.Pour touttde[0; T], on dénit une variable aléatoireX(t)sur un espace probabilisé(;A; P)qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep(t), cest à dire que 0 :p(t) =P(X(t) = 1)suppose que la fonction. Onpest dénie et dérivable sur[0; T], de dérivéep, et vérie la relation : 0 8t2[0; T]p(t) = (1`)p(t)(p(t)1) On notep(0) =p 0 et on suppose quep 0 appartient à lintervalle ouvert]0;1[. (1`)t 1. Soitfla fonction dénie sur[0; T]parf(t) =p(t)eque. Montrerfest croissante sur[0; T]et en déduire que la fonctionpne sannule pas sur[0; T].

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(1`)t e 0 2. (a)Soitgla fonction dénie sur[0; T]par :g(t) =. Exprimerg(t)en fonction de`ettet en p(t) (`1)t déduire quil existe une constantektelle que, pour touttde[0; T],g(t) =k+e. p 0 (b) Montrerque, pour touttde[0; T], on a :p(t) =. (1`)t p 0 + (1p 0 )e (c) Dresser le tableau de variations depsur[0; T]. Soit(C)la courbe représentative depdans le plan rapporté à un repère orthogonal.À quelle condition, portant surp 0 , la courbe(C)présente-t-elle un point dinexion?Quelles sont alors les coordonnées de ce point? T  3. Pourtoutn2N, on note=et pour toutk2[0; n]],t k =k. n n X  Pour toutn2N, on dénit la variable aléatoireZ n par :Z n =X(t k ), despéranceE(Z n ). k=0 T   Z E(Z n ) 1 (a) Montrerque la suiteest convergente et de limitep(t)dt. Cettelimite sera notée n  T n2N 0 m(T)dans la suite de cette partie. T Z (1`)t (b) Justierla validité du changement de variableu=edans lintégralep(t)dtet en déduire que 0 lon a : (1`)T e Z  1 11p 0 m(T) =du (1`)T up 0 + (1p 0 )u 1 (c) Endéduire une expression dem(T)en fonction dep 0 ,`etTet montrer que , lorsqueTtend vers+1, ln(1p 0 ) p 0 et`étant xés,m(T)est équivalent à (1`)T

Partie IV : Retour au modèle discret. 1 1 Soitnun entier naturel non xé.Avec les notations des parties I et III, on suppose quep 0 =,`=et 3 2 T= 2n(1).

1. Montrerque la fonctionpdénie dans la partie III est deux fois dérivable sur[0; T], et montrer que pour 1 00 00 touttde[0; T]:p(t(2) =p(t)1)p(t)(p(t)1)oùpdésigne la dérivée seconde dep. 4 T 2. Onrappelle que pour toutkde[0; n]],t k =k=ket quep k a été déni dans la partie I. n Pour toutkde[0; n]], on pose" k =p(t k )p k .

2  0 (a) Établir,pour toutkde[0; n1]], linégalité suivante :jp(t k+1 p(t k )p(t k )j6. 8 0 (b) Établir,pour toutkde[0; n1]], légalité :p(t k ) +p(t k )p k+1 =" k [1(1)(1p(t k )p k )]. 2 1 (c) Endéduire, pour toutkde[0; n1]], linégalité suivante :j" k+1 j6+ (+ 2)j" k j. 8 3 (d) Établir,pour toutkde[0; n]], linégalité :j" k j66(1).   11 3. Pourtout réeltel que >18(1), on pose :N(ln) =. 112(1) 2

(a) Vérierque pour tout réel >18(1), on aN()>0. p(t k )p k (b) Montrerque sin6N(), alors pour toutkde[0; n]], on a :6.   p(t k )

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(c) Montrerque, pourxé,limN() = +1 !1 (d) Conclure sur la qualité de lapproximation du modèle discret par le modèle continu, lorsquese rapproche" de1.

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