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Mathématiques pour l'informatique 2010 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2010. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2010 sur Bankexam.fr.
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Universit´eParisDiderot D´epartementdeSciencesExactes
MI3/MA3Ann´ee2009/10 L2 Info et Mass
Examen du 4 janvier 2010
Lescinqexercicessontind´ependants,lebar`emeestindicatif.Sontautorise´slesdocuments suivants:lepolycopi´educours,lesnotesdecoursetdeTD.Lescalculatricesnesontpas autorise´es.
Exercice 1.S(p4iotn)s.1)a´Dte´eriesenti`eres:egrevnocaledecnrlnemierdeonayer P n s´erieanxpour les coefficients suivants n Y 1 2n2 n+; (4+ 2k). (2n)! k=0
Onconsid`eremaintenanta:teanivsure`etineeire´saltine´tier,ond0unen
1.b)D´eterminer 1.c) Monter que 0 enti`eredeS(x) a 1.d)Ve´rierque
n2n X (1)x Sa(x) := n 4n!(n+a)! n=0
lerayondeconvergencedelase´riede´nissantSa(x). Saee´irontdruneexneesprnoissuosmrofsedeestdeufxiodse´iravlbee 00 etS(xoyarudtnaitsujndeceenrgveonecndse´sreeihccanude),es. a Sa(xlostoituse)tiuadionelndeq´tiener´leel
00 0 xy+ (2a+ 1)y+xy= 0
n tsin(nt) Exercice 2.tcoifenoopnisn4:ried(S´ecnofnoits)Ststloiuiasdetefn(t) =. n P P 0 2.a)Montrerquelesse´riesS(t) :=fn(t) etT(t) :=f(t) converge simplement n1n1n pour|t|<1. 2.b) Montrer que pour tout 0< a <iesestnoremdaelses´eredhccanuevgrneec,l1onac sur l’intervalle [a, a]. 2.c)Peut-onende´duirequepourtoutt]1,1[ on a la relation 0 S(t) =T(t)? (onjustierasoigneusementlare´ponseene´non¸cantlesre´sultatducoursinvoqu´es). 2.d) Donner une expression simple pourT(t).
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Exercice 3.dierlessuitesnum´senrpieqoureospesde´utirea:4eIinpo)Ots(`glAerbe´nil v´eriantlarelationdere´currence un+1= 2un+ 2un1   un Pour cela on introduit la suite de vecteurs du planVnla matrice:= etA:= un1   2 2 . 1 0 3.a)Montrerquelarelationder´ecurrencesetraduitparunerelationmatricielle Vn+1=AVn. 1 3.b) Diagonaliser la matriceAsous la formeA=P DPavec des matricesPetDque londe´terminera. n 3.c)End´eduireuneexpressiondeAet deun. ` 3.d) A quelle condition suru0etu1, la suiteune´nr?ets-eerelob-tle
Exercice 4.: 4pointsme`tsysudsnoitullg(Abr`eeerIIO)vnlenie´iaierlessoeut´etud di´erentielsuivant:0 x=2y 0 y=xz(S) 0 z= 2y 4.a)D´eterminerunematriceAfalsuosertamemrome`estsyivcr´eseteuelllqeicielle:   x 0   X=AXavecX:=y. z 1 4.b)De´terminerunematriceinversiblePet une matrice diagonale telles queA=P DP. Est-ilpossibledechoisircesmatricesa`coecientsr´eelsoudoit-onleschoisira`coecients complexes? 4.c)Utiliserlaquestionpre´ce´dentepourcalculerlessolutionsdusyst`eme(S).
Exercice 5.: 4pointsg`ebrelin´eaireIIIS)ioltmataireclA(   21 0   B:= 22 1 35 3 5.a)Calculerlepolynoˆmecaract´eristiquedeBirlp.eetvleuopelire´qreaceretin`essunde 5.b)D´eterminerunematriceinversiblePaignluiatairecrtetunemurieesureerp´Ttelles 1 queB=P T Pmatrice. LaBest-elle diagonalisable? 5.c)Ende´duirelecalculdelamatriceexp(tB). 5.d)Exprimerlessolutionsdusyst`emedie´rentielsuivant: 0 x= 2xy 0 y= 2x2y+z(E) 0 z= 3x5y+ 3z
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