Mathématiques pour l'informatique 2010 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2010. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2010 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 23 juin 2010
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Universit´eParisDiderot D´epartementdeSciencesExactes

MI3/MA3–Ann´ee2009/10 L2 Info et Mass

Examen du 4 janvier 2010

Lescinqexercicessontind´ependants,lebar`emeestindicatif.Sontautorise´slesdocuments suivants:lepolycopi´educours,lesnotesdecoursetdeTD.Lescalculatricesnesontpas autorise´es.

Exercice 1.S(p4iotn)s.1)a´Dte´eriesenti`eres:egrevnocaledecnrlnemierdeonayer P n s´eriea n xpour les coefficients suivants n Y 1 2n2 n+; (4+ 2k). (2n)! k=0

Onconsid`eremaintenanta≥:teanivsure`etineeire´saltinfie´tier,ond0unen

1.b)D´eterminer 1.c) Monter que 0 enti`eredeS(x) a 1.d)Ve´rifierque

∞ n2n X (−1)x S a (x) := n 4n!(n+a)! n=0

lerayondeconvergencedelase´riede´finissantS a (x). S a ee´irontdruneexneesprnoissuosmrofsedeestdeufxiodse´iravlbee 00 etS(xoyarudtnafiitsujndeceenrgveonecndse´sreeihccanude),es. a S a (xlostoituse)tiuadionelndeq’´tienerff´leel

00 0 xy+ (2a+ 1)y+xy= 0

n tsin(nt) Exercice 2.tcoifenoopnisn4:ried(S´ecnofnoits)Ststloiuiasdetef n (t) =. n P P 0 2.a)Montrerquelesse´riesS(t) :=f n (t) etT(t) :=f(t) converge simplement n≥1n≥1 n pour|t|<1. 2.b) Montrer que pour tout 0< a <iesestnoremdaelses´eredhccanuevgrneec,l1onac sur l’intervalle [−a, a]. 2.c)Peut-onende´duirequepourtoutt∈]−1,1[ on a la relation 0 S(t) =T(t)? (onjustifierasoigneusementlare´ponseene´non¸cantlesre´sultatducoursinvoqu´es). 2.d) Donner une expression simple pourT(t).

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Exercice 3.dierlessuitesnum´senrpieqoureospes’de´utirea:4eIinpo)Ots(`glAerbe´nil v´erifiantlarelationdere´currence u n+1 = 2u n + 2u n−1   u n Pour cela on introduit la suite de vecteurs du planV n la matrice:= etA:= u n−1   2 2 . 1 0 3.a)Montrerquelarelationder´ecurrencesetraduitparunerelationmatricielle V n+1 =AV n . −1 3.b) Diagonaliser la matriceAsous la formeA=P DPavec des matricesPetDque l’onde´terminera. n 3.c)End´eduireuneexpressiondeAet deu n . ` 3.d) A quelle condition suru 0 etu 1 , la suiteu n e´nr?ets-eerelob-tle

Exercice 4.: 4pointsme`tsysudsnoitullg(Abr`eeerIIO)vnlenie´iaierlessoeut´etud diff´erentielsuivant:  0  x=−2y 0 y=x−z(S)  0 z= 2y 4.a)D´eterminerunematriceAfalsuosertamemrome`estsyivcr´es’eteuelllqeicielle:   x 0   X=AXavecX:=y. z −1 4.b)De´terminerunematriceinversiblePet une matrice diagonale telles queA=P DP. Est-ilpossibledechoisircesmatricesa`coefficientsr´eelsoudoit-onleschoisira`coefficients complexes? 4.c)Utiliserlaquestionpre´ce´dentepourcalculerlessolutionsdusyst`eme(S).

Exercice 5.: 4pointsg`ebrelin´eaireIIIS)ioltmataireclA(   2−1 0   B:= 2−2 1 3−5 3 5.a)Calculerlepolynoˆmecaract´eristiquedeBirlp.eetvle’uopelire´qrefiaceretin`essunde 5.b)D´eterminerunematriceinversiblePaignluiatairecrtetunemurieesureerp´Ttelles −1 queB=P T Pmatrice. LaBest-elle diagonalisable? 5.c)Ende´duirelecalculdelamatriceexp(tB). 5.d)Exprimerlessolutionsdusyst`emediffe´rentielsuivant:  0  x= 2x−y 0 y= 2x−2y+z(E)  0 z= 3x−5y+ 3z

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