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Ondes de surface et tremblements de terre
Lobjectifduproble`meestdemettreen´evidencelexistencedondesdesurfacedansles milieuxe´lastiquesisotropes,ondesdontlimportancephysiqueethumaineapparaıˆtraclairement graˆcea`lapplicationnume´riqueconsacre´eauxtremblementsdeterre. Danslensembleduproble`me,onseplacedanslecadredelhypoth`esedespetites perturbations.Leetdelagravit´enestpasprisencompte.
1
Pre´liminaires
Onsaitquedeuxtypesdondespeuventsepropagerdansunmilieuhomoge`nee´lastique lin´eaireetisotrope,a`savoirlesondeslongitudinalesetlesondestransversales.Onadmetque lechampdede´placementauseinduntelmilieupeutsede´composerendeuxcontributions:
u(X) =u(X) +u(X) (1) L T telles que rotuet div= 0 u(2)= 0 L T ou`divetrotde´signentrespectivementlesop´erateursdivergenceetrotationnel. Onrappellequelechampdede´placementduntelmilieuv´erieles´equationsdeNavier
(λ+µ)grad (divu) +µΔu=ρa
(3)
enlabsencedeortsdevolumeetou`a(X)´dseeLsei.uilumndioaterl´´eccadpmahcelengi 1 constantesdeLam´edumilieusontλetµicne.lelepaal´eprntseeuatrerΔoL.re´p
1.1 Equations des ondes Montrer(ouadmettre)quesi,dansuncorpshomog`ene´elastiqueline´aireetisotrope,lechamp u, dit onde longitudinale, et le champuarsnevsrla,e´vreient,s´epar´emel,tnsetednotid, L T e´quationsdeNavier,alorsilssatisfonte´galementaux´equationsdondes: 2 2 uu 2L2T cΔu=, cΔu= (4) L L T T 2 2 ∂t ∂t o`ucLetcTosede´tire´le´catlselenaditugionndestnenpser´dgisesenoedlse´ir´tdentlac´electiveme transversalesquelonexprimeraenfonctiondescaract´eristiquesdumilieu.
1.2Rapportdesc´el´erit´es Exprimerlerapportdesc´ele´rit´esdesondestransversalesetlongitudinalesenfonctiondu coecientdePoisson.End´eduireque,quelquesoitlemilieuhomog`ene´elastiqueline´aireet isotropeconside´re´,ona: 0< cT< cL(5)
1 Lelaplaciendunchampdevecteur,dansunsyst`emedecoordonne´escart´esiennes,estlevecteurayant pour composantes le laplacien de chaque composante correspondante.
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