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OndesdesurfaceettremblementsdeterreL’objectifduproble`meestdemettreene´videncel’existenced’ondesdesurfacedanslesmilieuxe´lastiquesisotropes,ondesdontl’importancephysiqueethumaineapparaıˆtraclairementgraˆcea`l’applicationnume´riqueconsacre´eauxtremblementsdeterre.Dansl’ensembleduproble`me,onseplacedanslecadredel’hypothe`sedespetitesperturbations.L’effetdelagravite´n’estpasprisencompte.Pouruneanalysepluscomple`tedecesphe´nome`nes,onpourraconsulterlesre´fe´rences(LandauandLifschitz,1980)et(RakotomananaRavelonarivo,2009).1Pre´liminairesOnsaitquedeuxtypesd’ondespeuventsepropagerdansunmilieuhomoge`nee´lastiqueline´aireetisotrope,a`savoirlesondeslongitudinalesetlesondestransversales.Onadmetquelechampdede´placementauseind’untelmilieupeutsede´composer1endeuxcontributionsu(X)=uL(X)+uT(X)(2)tellesquerotuL=0etdivuT=0(3)ou`divetrotde´signentrespectivementlesope´rateursdivergenceetrotationnel.Onrappellequelechampdede´placementd’untelmilieuve´rifielese´quationsdeNavier(λ+µ)grad(divu)+µΔu=ρa(4)enl’absenced’effortsdevolumeetou`a(X)de´signelechampd’acce´le´rationdumilieu.LesconstantesdeLame´dumilieusontλetµ.L’ope´rateurΔrepre´sentelelaplacien2.1.1EquationsdesondesMontrer(ouadmettre)quesi,dansuncorpshomoge`nee´lastiqueline´aireetisotrope,lechampuL,ditondelongitudinale,etlechampuT,ditondetransversale,ve´rifient,se´pare´ment,lese´quationsdeNavier,alorsilssatisfonte´galementauxe´quationsd’ondes:22uL22uTcLΔuL=2,cTΔuT=2(5)ttou`cLetcTde´signentrespectivementlace´le´rite´desondeslongitudinalesetlace´le´rite´desondestransversalesquel’onexprimeraenfonctiondescaracte´ristiquesdumilieu.1Detoutee´videnceunetellede´compositionn’estpasunique.Elleestassocie´ea`lade´compositionditedeHelmholtzquifaitintervenirunpotentielscalaireφ(X)etunpotentielvecteurΦ:u(X)=gradφ(X)+rotΦ(X).(1)2Lelaplaciend’unchampdevecteur,dansunsyste`medecoordonne´escartesiennes,estlevecteurayantpourcomposanteslelaplaciendechaquecomposantecorrespondante.1
SilechampuT,a`divergencenulle,ve´rifielese´quationsdeNavier(4),alorsilve´rifiee´galementl’e´quationdesondes(5).D’autrepart,unchampuL,a`rotationnelnul,esttelquegraddivuLuLrotrotuLuLdesortequ’ilve´rifiee´galementunee´quationdesondes.Lesce´le´rite´sontpourexpressions:srcL=λ+2µ,cT=µ(6)ρρ1.2Rapportdesce´le´rite´sExprimerlerapportdesce´le´rite´sdesondestransversalesetlongitudinalesenfonctionducoefficientdePoisson.Ende´duireque,quelquesoitlemilieuhomoge`nee´lastiqueline´aireetisotropeconside´re´,ona:0<cT<cL(7)Lerapportdesce´le´rite´stransversaleetlongitudinalevaut:srcTµ12νcL=λ+2µ=2(1ν)(8)Lathermodynamiqueimpose1<ν<0.5.Lerapportdesce´le´rite´sestunefonctionmonotonede´croissantesurcetintervalle(cf.figure1)desortequ’onobtientl’intervallesuivant0<cT<3<1(9)2cLFig.1–Variationdurapportdesce´le´rite´srelativesdesondesdanslesmilieuxe´lastiquesline´airesisotropesenfonctionducoefficientdePoisson.2
2OndesdansunmassifsemiinniOnconside`reunmassifsemi–infinilimite´parleplanX3=0,selonlesyste`medecoordonne´escarte´siennesorthonorme´esde´nisurlagure2.Loriginedurepe`reetlorientationdelaxe3sontchoisiesdetellesortequelespointsmate´rielsdumassifsoientcaracte´rise´sparX30.Danscettepartie,aucuneconditionauxlimitesn’estencorespe´cifie´esurlasurfaceX3=0.Lemilieusemi–infiniestsuppose´constitue´d’unmate´riauhomoge`ne,aucomportemente´lastiqueline´arise´etisotrope.Ons’inte´resseauxondesplanessepropageantdansladirection1etinvariantesselonladirection2.Elless’exprimentcommelasuperpositiond’uneondelongitudinaleetd’uneondetransversalequel’onrepre´sentesouslaformeexponentiellecomplexesuivante:u(X)=fL(X3)eik(X1ct),u(X)=fT(X3)eik(X1ct)(10)TLLevecteurd’ondeadmetk>0,lenombred’onde,commeuniquecomposantere´ellenonnulle,dansladirection1.Lace´le´rite´del’ondeestre´elleetvautc.Enoutre,i2=1.Danscetterepre´sentation,leschampsrecherche´scorrespondentauxpartiesre´ellesdeschampspre´ce´dents.LeschampsuLetuTrecherche´sve´rientlese´quationsdeNavieretlesconditions(3).LesgrandeursfL(X3)etfT(X3)sontdeuxchampsdevecteursa`de´terminer,nede´pendantquedelavariableX3etcaracte´risantl’amplitudedesondese´tudie´es.Fig.2–Coupeparleplan(X1,X3)d’unmassifsemi–infinietrepe´ragecorrespondant.1.2Donnerlesdeuxe´quationsdiffe´rentiellesvectoriellesre´gissantlesfonctionsfL(X3)etfT(X3).LeschampsuLetuTve´rifientlese´quationsd’ondes(5).Lesdeuxe´quationsdiffe´rentiellesrecherche´ess’ende´duisent:TLd2f2c2Ld2f2c2TdX2=k(1c2)f,dX2=k(1c2)f(11)T3L33
2.2OndesdesurfaceOns’inte´ressedanslasuiteduproble`meauxondesdesurfacedontl’amplitudede´croıˆtexponentiellementlorsqueX3→−∞.Justifierquedetellesondesdesurfacenepeuventexisterquesileurce´le´rite´estplusfaiblequelace´le´rite´desondestransversalesdanslevolume:c<cT(12)Montrerquelesamplitudesdetellesondesdesurfacesemettentsouslaforme:fL=AebLX3,fT=BebTX3(13)avecss22ccbL=k12,bT=k12(14)ccTLLessolutionsdese´quationsdiffe´rentielles(11)sontlesfonctionsexponentielles(13).LesnombresbLetbTsolutionssontoubienimaginairespursoubienre´els.Lessolutionsimaginairespurescorrespondenta`dessolutionsharmoniques.Lessolutionse´vanescentessontobtenueslorsque,simultane´ment,bLetbTsontdesnombresre´els,c’est–a`–direlorsquec<cTetc<cL.CommecT<cL,lapremie`reconditionsuffit.3.2Montrerquel’ondelongitudinaleuLn’apasdecomposantedansladirection2:A2=0.Etablirdeuxautresrelations,l’uneportantsurlescomposantesdeAetl’autresurlescomposantesdeB.LerotationneldeuLestnul,cequiimplique:∂uL2∂uL3=∂uL3∂uL1=∂uL1∂uL2=0∂x3∂x2∂x1∂x3∂x2∂x1Lapremie`reetlatroisie`mee´quationfournissentA2=0.Ladeuxie`mee´quationexigequeikA3bLA1=0LadivergenceduchampuTestnulledesorteque:ikB1+bTB3=0)51()61(3OndesdeRayleighOnconside`remaintenantquelasurfaceX3dumassifsemi–infinipre´ce´dentestlibredetouteffort.Danscecas,lesondesdesurfacessontappele´esondesdeRayleighquilesmitene´videncedemanie`rethe´oriqueen1887.Laformeobtenuepre´ce´demmentestrappele´eci–dessous:A1ebLX3+B1ebTX3[u(X,t)]=B2ebTX3eik(X1ct)(17)A3ebLX3+B3ebTX34
3.1De´formationsCalculerlegradientduchampdede´placements(17)etlechampdesde´formationsinfinite´simalescorrespondantes.Indiquerlesconditionsassurantlerespectducontexteinfinite´simal.3.2ContraintesCalculerlechampdescontraintesassocie´es,toujoursdanslecadredel’e´lasticite´homoge`neisotropeline´arise´e.Legradientdude´placementetletenseurdesde´formationsinfinite´simalessont:ikA1ebLX3+B1ebTX30A1bLebLX3+B1bTebTX3[gradu]=ikB2ebTX30bTB2ebTX3eik(X1ct)ikA3ebLX3+B3ebTX30A3bLebLX3+B3bTebTX31[ε(X,t)]=[gradu]+[gradu]T2Lescontraintess’obtiennentenappliquantlaloideHooke:σ=λ(traceε)1+2µε.3.3PolarisationdesondesdeRayleighEnutilisantlaconditionauxlimitesdesurfacelibreenX3=0,montrerd’abordqueB2=0.Celasignifiequeu2=0etquelesondesdeRayleighsontpolarise´esdansleplan(1,3).C’estunecaracte´ristiqueimportantedecetyped’ondesdesurface.3.4EquationdeRayleighEnachevantl’exploitationdelaconditionauxlimitesenX3=0,e´tablirquelecarre´durapportc/cTdelace´le´rite´desondesdeRayleighsurlace´le´rite´desondestransversalesenvolumeestracinedupolynoˆmesuivant:22P(ξ)=ξ38ξ2+8ξ(32c2T)16(1c2T)(18)ccLLLace´le´rite´desondesdeRayleighnede´penddoncquedesce´le´rite´sdesondese´lastiquesvolumiques.Enparticulier,ellenede´pendpasduvecteurd’ondek.5.3Montrerqu’ilexisteaumoinsuneracinedupolynoˆmeP(ξ)satisfaisantauxexigencesrequisespourc.Onpeutmontrerquecetteracineestuniquemaisonl’admettraici.One´tabliraenfinquelerapportdesamplitudesdesondesdeRayleightransversaleetlongitudinalevaut:A12cT2B1=2c2c2(19)T5
Levecteur–contrainteestnul`alasurfaceX3enl’absenced’effortapplique´:t(X3=0)=σ(X3=0)e3=[σ13(0)σ23(0)σ33(0)]T=0(20)Enparticulier,σ23(X3=0)=µbTB2=0=B2=0cequimontrequelacomposantedede´placementtransversalu2estnulleentoutpointpouruneondedeRayleigh.Onexploiteensuitelaconditionσ13(X3=0)=µ(A1bL+B1bT+ikA3+ikB3)=0Enutilisantlesrelations(15)et(16),onobtientunepremie`ree´quationportantsurA1etB1:2k2A1bL+B1bT(1+b2)=0(21)TLaconditionauxlimitessurσ33(X3)fournituneseconderelation:λik(A1+B1)+(λ+2µ)(A3bL+B3bT)=0Profitantdufaitqueλ/ρ=c2L2cT2etqueµ/ρ=cT2,l’e´quationpre´ce´dentesemetsouslaemrofA1(c22cT2)2cT2B1=0(22)Aupassage,cettee´quationfournitlavaleurdurapportdesamplitudesdeuL1etuL2,annonce´eparl’´equation(19).Remarquerenoutreque2A1≤−1B1desortequelapartielongitudinalepeuteˆtrejusqu’a`2foisplusintensequelapartietransversale.Lesyste`mehomoge`nea`deuxinconnuesforme´dese´quations(21)et(22)admetunesolutionnontrivialea`conditionquesonde´terminantsoitnul:2k4bLcT2+bT(1+2)(c22cT2)=0bTdontvoicidestransformationssuccessivesenutilisantlesexpressionsdesbL,TenfonctiondeketcL,T:24bLbT=k2(2c)22cTc2c2c2416(1c2)(1c2)=(2c2)(23)TTLc2c6c4c2c6c2TTc2c68c4+8c2(32c6)16(1c2)=0TTTTLLLasolutionc=0conduita`A1=B1,d’apre`s(19)eta`lanullite´deuaucomplet.Onchercheplutoˆtlasolutionnontrivialecorrespondanta`unrapportc2/cT2racinedupolynoˆme(18).Lasolutionrecherche´ec/cTdoiteˆtrepositiveetinfe´rieurea`1.Remarquonsalorsque6
P(0)=16(1cT2/c2L)<0etqueP(1)=1desortequ’ilexisteaumoinsuneracinedeP(ξ)satisfaisantlesconditionsphysiquesrequises.Lade´rive´edeP(ξ)vaut2cP0(ξ)=3ξ216ξ+8(32T)2cLSondiscriminantestne´gatifsicT2/c2L1/6desorteque,danscesconditions,lafonctionP(ξ)estmonotonecroissanteetadmetuneseuleracine,laracinerecherche´e.PourcT2/c2L>1/6,unee´tudeplusde´taille´epermete´galementd’e´tablirqu’ilyauneseuleracineentre0et1.3.6Trajectoiresdespointsmate´rielsFortsdesre´sultatspre´ce´dents,indiquezlaformedelatrajectoiredespointsmate´rielssitue´sa`lasurfacelibredumassif.Dansquelsensparcourent–ilsleurtrajectoire?Quelleseraitlatrajectoiredecespointssilemilieue´taitconstitue´d’unfluideaucomportemente´lastiqueline´arise´?Entenantcomptedesre´sultatsacquissurlesconstantesAietBi,a`savoirlesrelations(15),(16)et(19),lechampdede´placement(17)prendlaformesuivante:2u1=A1ebLX3(1c)ebTX3eik(X1ct)(24)2c2Tu2=0(25)s21c22u3=iA11cebLX3+q2cTebTX3eik(X1ct)(26)c2L1c22cTEnprenantlapartiere´elledeceschamps,pourA1re´el,latrajectoired’unpointmate´rieldelasurfaceX3=0estde´criteparu1=Ccos(k(X1ct)),u3=Dsin(k(X1ct))(27)avec2scc212c2c2C=A12,D=A1qT2122cT1c2cLcTLespointsmate´rielse´voluentdoncsuruneellipsecentre´esurleurpositioninitiale:u12u32(x1X1)2x32+=2+2=1(28)DCDCL’e´quationdeRayleighsouslaforme(23)permetensuitedemontrerquess! A1c2c2c2A1c2c2D=qc21212+12=qc2(12)21c2cTcL2cT1c22cT2cTTTLecoefficientDestdoncdusignedeC.L’ellipseestdoncparcouruedanslesensindirectparrapporta`l’axe2.7
Onpeutve´rifierquelerapportD/Cesttoujourssupe´rieura`1lorsquec/cTresteentre0et3/2.Parconse´quent,latrajectoireelliptiqueestplusallonge´everticalement.Lorsquelemilieuestunfluidee´lastique,lemilieunere´sistepasaucisaillement(“µ=0,cT=0”)etseuleslesondeslongitudinalespeuventexisterdanslevolume.Dansunfluidepesantincompressible,onsaitqu’ilexistedesondesprogressivese´vanescentesdanslaprofondeur,correspondantauphe´nome`nedelahoule.Latrajectoiredespointssonte´galementdesellipses,prochesdecerclesenmilieuprofond,etparcouruesdanslesensdirect(Germain,1986).3.7Formationdunefailleduea`untremblementdeterreLemilieuestconstitue´d’unerochefragilesuppose´eisotropedontlacontraintea`rupturevautσ0.De´terminerlavaleurcritiqueduproduitkA1pourlaquelleunefaillepeutseformera`lasurfacedumassif.Indiquere´galementl’orientationdelapremie`refaillea`seformer.Plusieurscomposantesdutenseurdescontraintessontnullesa`lasurfacedumassif:σ13=σ23=σ33=012=0(29)Lesseulescomposantesnonnullessont:σ22=λtraceε=λ(ki(A1+B1)+(A3bL+B3bT))eik(X1ct)σ11=λtraceε+2µε11=(λ(ki(A1+B1)+(A3bL+B3bT))+2µik(A1+B1))eik(X1ct()30)Lespartiesre´ellescorrespondantessontc2c2c2σ22(X1,t)=kA1λ2sin(k(X1ct))11(X1,t)=kA1(λ2+µ2)sin(k(X1ct))(31)cLcLcTCesontlesdeuxcontraintesprincipales.Ellescroissentetde´croissentenphase.Laplusgrandecontrainteprincipaleestmaxc2c2σ11=kA1(λ2+µ2)ccTLElleatteintlavaleura`rupturelorsqueσ0kA1=c2c2λc2L+µcT2Lafissureseformeperpendiculairementa`ladirectionprincipalecorrespondante,a`savoirladirection1.Lespremie`resfaillesseformentdoncperpendiculairementa`ladirectiondepropagation.4OndesdeLoveLordRayleighamontre´quelesondesdesurfacesdansunmassifsolidesemi–infinihomoge`ne,e´lastiqueetisotrope,sontpolarise´esdansleplan(1,3)de´finipre´ce´demment.Lessismogrammesre´ve`lenttoutefoisl’existenced’unecomposantetransversaleu2lorsdetremblementsdeterre8
danslesconditionse´tudie´es.A.E.H.Lovee´lucidacesobservationsen1911enconside´rantquelemilieuge´ologiquen’estpashomoge`neetquelesondesdesurfacespeuventeˆtrecanalise´esdansunecouched’e´paisseurHde´pose´esurunmassifsemiinni,commesurlagure3(Love,1944).Lemilieu(b)constituantlemassifsemi–infinietlemilieu(a)constituantlacouchesupe´rieuresontdessolidesayantdescomportementse´lastiquesline´arise´sisotropesdistincts.Lemoduledecisaillementetlace´le´rite´desondestransversalesdevolumesontappele´sµaetcTadanslacoucheetµbetcbTdanslemassifsemi–infini.L’interface,suppose´eparfaite,entrelacoucheetlemassifestleplanX3=0.Lescoordonne´esne´gativesX30de´signentlespointsdumassif,tandisquelespointsmate´rielsdelacouchesonttelsque0X3H.LasurfaceX3=Hestlibredetouteffort.Fig.3–Massifsemi–infini(b)supportantunecouche(a)constitue´ed’unmate´riaudiffe´rent;repe´ragecorrespondant.Onexplorelapossibilite´delapropagationdansladirection1d’uneondetransversaledanslesdeuxmilieux,dontlede´placementassocie´estdansladirection2etdelaforme:u1a=0,u2a=f(X3)eik(X1ct),u3a=0(32)u1b=0,u2b=AebX3eik(X1ct),u3b=0(33)dontoncherchelescaracte´ristiquesf(X3),A,benfonctiondeketc,cesdeuxgrandeurse´tantsuppose´esidentiquespourlesdeuxmilieux.1.4Trouverl’e´quationdiffe´rentiellere´gissantlafonctionf(X3).Trouverlarelationliantb,ketc.Montrerqu’uneondee´vanescentedanslemilieu(b),c’est–a`–dires’e´vanouissantlorsqueX3−∞,nepeutexisterqu’a`laconditionquecTa<c<cbT(34)cequiimposeenoutreunerestrictionsurlesproprie´te´srelativesdesdeuxmilieuxconside´re´s,a`savoircTa<cbT.9
Lechamppropose´esta`divergencenulleetdoitdoncsatisfairel’e´quationdesondes(5),cequiconduita`l’e´quationdiffe´rentiellesuivante:2f00=k2(1c)f(35)2acTEncequiconcernel’ondedanslemilieu(b)onobtient2cb2=k2(1b2)cTL’ondedanslemilieu(b)este´vanescentesiccbT.L’ondedanslemilieu(a)seraite´galemente´vanescentesiccTa.Orl’analysedesondesdeRayleighamontre´quel’existenced’unecomposantedede´placementdansladirection2n’estpascompatibleaveclaconditiondesurfacelibre.Ilfautdoncs’inte´ressera`desondesdece´le´rite´cTac.L’onderecherche´eestdoncharmoniquedanslemilieu(a)ete´vanescentedanslemassif.4.2ConditionsauxlimitesetdinterfaceFormulerdemanie`reexhaustivelesconditionsauxlimitesetd’interfaceduproble`medesondesdeLove.4.3EquationdedispersionEnde´duirelarelationliantketc,diterelationdedispersion.ContrairementaucasdesondesdeRayleighdontlace´le´rite´nede´pendquedecTetcL,onconstatequelace´le´rite´desondesdeLovede´penddek,cequitraduitlecaracte`redispersifdecetyped’ondes.L’inhomoge´ne´ite´dumilieuestdoncsourcededispersionpourlesondese´lastiques.Voicilalistedesconditionsauxlimitesduproble`me:ConditiondesurfacelibreenX3=H.Levecteurcontraintes’yannule:ta(X3=H)=σa(X3=H)e3=0Laconditiondecontinuite´desde´placementsa`l’interfaceua(X3=0)=ub(X3=0)traduitl’absencedefissureetdeglissementrelatifa`l’interface.Latransmissiondeseffortsautraversdel’interfacesetraduitparlaconditionsuivanteportantsurlevecteur–contrainte:ta(X3=0)+tb(X3=0)=(σa(X3=0)σb(X3=0))e3=0L’ondes’e´vanouitdanslesprofondeursdumassif:bXlim−∞u(X)=0301
Partantduchamp[ua]=[0(Ecos(baX3)+Fsin(baX3))eik(X1ct)0]Toncalculelechampdede´formation[εa]=0ik(Ecos(baX3)+Fsin(baX3))02i2k(Ecos(baX3)+Fsin(baX3))0k2a(Esin(baX3)+Fcos(baX3))k02a(Esin(baX3)+Fcos(baX3))0Lescontraintess’obtiennentenmultipliantletenseurdesde´formationspar2µa.LaconditiondesurfacelibreenX3=0exigequeσ31(X3=H)=0=⇒−Esin(baH)+Fcos(baH)=0(36)Laconditiondecontinuite´dude´placementa`l’interfaceexigequeu2a(X3=0)=u2b(X3=0)=E=ADanslemassif(b),lade´formationvaut0ik2A0[εb]=ik2A0b2AAb002Lacontinuite´delacomposantedecisaillementσ31a`l’interfacesetraduitparσ3a1(X3=0)=σ3b1(X3=0)=kaµaF=µbbAEnrevenanta`lacondition(36),onvoitquel’existenced’unre´sultatnontrivialexigequebµbµsin(kaH)+bcos(kaH)=0=tan(baH)=bµAkaµAkaou`l’onrappellequess22ccba=kca21,b=k1cb2TTC’estl’e´quationdedispersionrecherche´edonnantunevaleurdelace´le´rite´cdiffe´rentepourchaquevaleurdek.5Applicationaumanteauterrestre5.1CasdunerochedumanteauterrestreL’e´corceterrestreestconstitue´ed’unerocheayantpeuouproulesproprie´te´ssuivantes:ρ=3.3g.cm3=67GPaCalculernume´riquementlesvaleursdecTetcL,enadoptantsuccessivementlesvaleurssuivantesducoefficientdePoisson-1;0;0.25;0.5.11