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Ondes de surface et tremblements de terre

De
14 pages
Ondes de surface et tremblements de terre L'objectif du probleme est de mettre en evidence l'existence d'ondes de surface dans les milieux elastiques isotropes, ondes dont l'importance physique et humaine apparaıtra clairement grace a l'application numerique consacree aux tremblements de terre. Dans l'ensemble du probleme, on se place dans le cadre de l'hypothese des petites perturbations. L'effet de la gravite n'est pas pris en compte. Pour une analyse plus complete de ces phenomenes, on pourra consulter les references (Landau and Lifschitz, 1980) et (Rakotomanana Ravelonarivo, 2009). 1 Preliminaires On sait que deux types d'ondes peuvent se propager dans un milieu homogene elastique lineaire et isotrope, a savoir les ondes longitudinales et les ondes transversales. On admet que le champ de deplacement au sein d'un tel milieu peut se decomposer1 en deux contributions u (X ) = u L(X ) + u T (X ) (2) telles que rotu L = 0 et divu T = 0 (3) ou div et rot designent respectivement les operateurs divergence et rotationnel. On rappelle que le champ de deplacement d'un tel milieu verifie les equations de Navier (? + µ)grad (divu ) + µ∆u = ?a (4) en l'absence d'efforts de volume et ou a (X ) designe le champ d'acceleration du milieu.

  • massif semi–infini

  • onde de surface

  • condition aux limites de surface libre en x3

  • ondes longitudinales

  • gradient du champ de deplacements

  • milieu homogene

  • solutions evanescentes


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OndesdesurfaceettremblementsdeterreL’objectifduproble`meestdemettreene´videncel’existenced’ondesdesurfacedanslesmilieuxe´lastiquesisotropes,ondesdontl’importancephysiqueethumaineapparaıˆtraclairementgraˆcea`l’applicationnume´riqueconsacre´eauxtremblementsdeterre.Dansl’ensembleduproble`me,onseplacedanslecadredel’hypothe`sedespetitesperturbations.L’effetdelagravite´n’estpasprisencompte.Pouruneanalysepluscomple`tedecesphe´nome`nes,onpourraconsulterlesre´fe´rences(LandauandLifschitz,1980)et(RakotomananaRavelonarivo,2009).1Pre´liminairesOnsaitquedeuxtypesd’ondespeuventsepropagerdansunmilieuhomoge`nee´lastiqueline´aireetisotrope,a`savoirlesondeslongitudinalesetlesondestransversales.Onadmetquelechampdede´placementauseind’untelmilieupeutsede´composer1endeuxcontributionsu(X)=uL(X)+uT(X)(2)tellesquerotuL=0etdivuT=0(3)ou`divetrotde´signentrespectivementlesope´rateursdivergenceetrotationnel.Onrappellequelechampdede´placementd’untelmilieuve´rifielese´quationsdeNavier(λ+µ)grad(divu)+µΔu=ρa(4)enl’absenced’effortsdevolumeetou`a(X)de´signelechampd’acce´le´rationdumilieu.LesconstantesdeLame´dumilieusontλetµ.L’ope´rateurΔrepre´sentelelaplacien2.1.1EquationsdesondesMontrer(ouadmettre)quesi,dansuncorpshomoge`nee´lastiqueline´aireetisotrope,lechampuL,ditondelongitudinale,etlechampuT,ditondetransversale,ve´rifient,se´pare´ment,lese´quationsdeNavier,alorsilssatisfonte´galementauxe´quationsd’ondes:22uL22uTcLΔuL=2,cTΔuT=2(5)ttou`cLetcTde´signentrespectivementlace´le´rite´desondeslongitudinalesetlace´le´rite´desondestransversalesquel’onexprimeraenfonctiondescaracte´ristiquesdumilieu.1Detoutee´videnceunetellede´compositionn’estpasunique.Elleestassocie´ea`lade´compositionditedeHelmholtzquifaitintervenirunpotentielscalaireφ(X)etunpotentielvecteurΦ:u(X)=gradφ(X)+rotΦ(X).(1)2Lelaplaciend’unchampdevecteur,dansunsyste`medecoordonne´escartesiennes,estlevecteurayantpourcomposanteslelaplaciendechaquecomposantecorrespondante.1
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