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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2004
MP FILIÈRE
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
Solutions périodiques d’équations différentielles
On se propose, dans ce problème, d’étudier les solutions de certaines équations différentielles, et, en particulier, leurs solutions périodiques.
On désigne parTun nombre réel>0, parPl’espace vectoriel des fonctions définies surR, réelles, continues etT-périodiques, et enfin paraun élément deP. On pose   Ä ä T t A=a(t)gdt ,(t) = expa(u)du; 0 0 on munitPde la norme définie par
x= sup|x(t)|. tR
Première partie
1.Dire pour quelle(s) valeur(s) deAl’équation différentielle
x(t) =a(t)x(t)
(E1)
admet des solutionsT-périodiques non identiquement nulles. On désigne maintenant parbun élément deP, et on s’intéresse à l’équation différentielle x(t) =a(t)x(t) +b(t).(E2) 2.a)Décrire l’ensemble des solutions maximales de (E2) et préciser leurs intervalles de défi-nition. 2.b)Décrire l’ensemble des solutions maximales de (E2) qui sontT-périodiques, en supposant d’abordAnon nul, puisAnul.
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