Polytechnique X 2004 premiere composition de mathematiques classe prepa mp

ÉCOLEPOLYTECHNIQUE FILIÈREMPCONCOURSD’ADMISSION2004PREMIÈRECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.Solutionspériodiquesd’équationsdifférentiellesOnsepropose,dansceproblème,d’étudierlessolutionsdecertaineséquationsdifférentielles,et,enparticulier,leurssolutionspériodiques.Ondésignepar Tunnombreréel > 0,parPl’espacevectorieldesfonctionsdéfiniessur R,réelles,continueset T-périodiques,etenfinpar aunélémentde P.Onpose T tÄ äA = a(t)dt , g(t)=exp a(u)du ;0 0onmunit Pdelanormedéfinieparx=sup|x(t)| .t∈RPremièrepartie1.Direpourquelle(s)valeur(s)de Al’équationdifférentiellex (t)=a(t)x(t) (E1)admetdessolutions T-périodiquesnonidentiquementnulles.Ondésignemaintenantpar bunélémentde P,etons’intéresseàl’équationdifférentiellex (t)=a(t)x(t)+b(t) . (E2)2.a)Décrirel’ensembledessolutionsmaximalesde(E2)etpréciserleursintervallesdedéfi-nition.2.b)Décrirel’ensembledessolutionsmaximalesde(E2)quisont T-périodiques,ensupposantd’abord Anonnul,puis Anul.13.Onsupposeque T =2πetquelafonction aestuneconstante k.3.a)Supposant knonnul,exprimerlescoefficientsdeFourier xˆ(n),n∈ Z,d’unesolution xde(E2)appartenantà P,enfonctiondeketdescoefficientsdeFourierde b.PréciserlemodedeconvergencedelasériedeFourierde x.3.b)Quesepasse-t-illorsque k =0?Deuxièmepartie1 2Danscettepartieondésignepar Hunefonctionréelle,declasse C,définiesur R ,etons’intéresseàl’équationdifférentiellex (t)=a(t)x(t)+H(x(t),t) . (E3)4 ...