Polytechnique X 2004 premiere composition de mathematiques classe prepa mp

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ÉCOLEPOLYTECHNIQUE FILIÈREMPCONCOURSD’ADMISSION2004PREMIÈRECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.Solutionspériodiquesd’équationsdifférentiellesOnsepropose,dansceproblème,d’étudierlessolutionsdecertaineséquationsdifférentielles,et,enparticulier,leurssolutionspériodiques.Ondésignepar Tunnombreréel > 0,parPl’espacevectorieldesfonctionsdéfiniessur R,réelles,continueset T-périodiques,etenfinpar aunélémentde P.Onpose T tÄ äA = a(t)dt , g(t)=exp a(u)du ;0 0onmunit Pdelanormedéfinieparx=sup|x(t)| .t∈RPremièrepartie1.Direpourquelle(s)valeur(s)de Al’équationdifférentiellex (t)=a(t)x(t) (E1)admetdessolutions T-périodiquesnonidentiquementnulles.Ondésignemaintenantpar bunélémentde P,etons’intéresseàl’équationdifférentiellex (t)=a(t)x(t)+b(t) . (E2)2.a)Décrirel’ensembledessolutionsmaximalesde(E2)etpréciserleursintervallesdedéfi-nition.2.b)Décrirel’ensembledessolutionsmaximalesde(E2)quisont T-périodiques,ensupposantd’abord Anonnul,puis Anul.13.Onsupposeque T =2πetquelafonction aestuneconstante k.3.a)Supposant knonnul,exprimerlescoefficientsdeFourier xˆ(n),n∈ Z,d’unesolution xde(E2)appartenantà P,enfonctiondeketdescoefficientsdeFourierde b.PréciserlemodedeconvergencedelasériedeFourierde x.3.b)Quesepasse-t-illorsque k =0?Deuxièmepartie1 2Danscettepartieondésignepar Hunefonctionréelle,declasse C,définiesur R ,etons’intéresseàl’équationdifférentiellex (t)=a(t)x(t)+H(x(t),t) . (E3)4 ...

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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2004

MP FILIÈRE

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   

Solutions périodiques d’équations différentielles

On se propose, dans ce problème, d’étudier les solutions de certaines équations différentielles, et, en particulier, leurs solutions périodiques.

On désigne parTun nombre réel>0, parPl’espace vectoriel des fonctions définies surR, réelles, continues etT-périodiques, et enfin paraun élément deP. On pose   Ä ä T t A=a(t)gdt ,(t) = expa(u)du; 0 0 on munitPde la norme définie par

x= sup|x(t)|. t∈R

Première partie

1.Dire pour quelle(s) valeur(s) deAl’équation différentielle

 x(t) =a(t)x(t)

(E1)

admet des solutionsT-périodiques non identiquement nulles. On désigne maintenant parbun élément deP, et on s’intéresse à l’équation différentielle  x(t) =a(t)x(t) +b(t).(E2) 2.a)Décrire l’ensemble des solutions maximales de (E2) et préciser leurs intervalles de défi- nition. 2.b)Décrire l’ensemble des solutions maximales de (E2) qui sontT-périodiques, en supposant d’abordAnon nul, puisAnul.

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