Cette publication est accessible gratuitement
Lire

Problème de physique - option physique 2008 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Externe)

De
15 pages
Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Problème de physique - option physique 2008. Retrouvez le corrigé Problème de physique - option physique 2008 sur Bankexam.fr.
Voir plus Voir moins
ÉLECTROMAGNÉTISME   PréambuleCe sujet comporte deux parties indépendantes : - partie porte sur quelques aspects fondamentaux de lélectromagnétisme,La première notamment sur lapproximation des régimes quasi-stationnaires et ses conséquences sur la simplification des équations fondamentales de lélectromagnétisme. - dédiée à létude de la propagation guidée dans un câbleLa deuxième partie est coaxial. Chaque partie comporte de nombreuses questions indépendantes. Le candidat peut utiliser un résultat donné par le texte même sil na pas été démontré. La plus grande importance sera donnée à la qualité de la rédaction et de la présentation. Si au cours de lépreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives quil est amené à prendre.  
FORMULAIRE  Opérateurs vectoriels rot(rotC)=grad(divC)− ΔC Opérateurs vectoriels en coordonnées cylindriques  C divC=1(rCr)+1Cθ+z rr rθz  rotC =  1rCθzCzθ   ur  + CzrCrz   uθ+1r   (rCrθ)Cθr uz Δ ∂ f=r1r   rrf   +r122θf2+2fz2
12 1 ε0=8.85×10Fm7 2 2 μ0=4π×10kg·m·A-s-c=3×108ms-1  
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition d1e physique (épreuve A) 2008.doc
Page 1 sur 15
Première Partie Quelques aspects fondamentaux de l’électromagnétisme
A. Des équations de Maxwell. I.  : classiqueVoici quelques-uns des plus éminents artisans de lélectromagnétisme Coulomb, Ampère, Faraday, Maxwell, Hertz, Lorentz. Rappelerbrièvement des contributions de chacun à la construction de une lélectromagnétisme.II. Enoncer les équations de Maxwell dans le vide en présence de charges et de courants. Pour chacune dentre elles, en donner la forme intégrale. Suffisent-elles à rendre compte de tous les phénomènes électromagnétiques ? Si non, que faut-il leur adjoindre ? B. De l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires Lobjet de cette partie est de dégager précisément ce que recouvre lapproximation des régimes quasi-stationnaires en électromagnétisme (notée dorénavant ARQS). On commence par létude dun exemple simple : la détermination du champ électromagnétique dans un condensateur plan en régime sinusoïdal forcé. z solénoïde z Condensateur
r yruθ Q0uzurrI0 Ox rr uzuθ rurrx  ReOFigure 1. a Figure 1. b I. Condensateur plan en régime sinusoïdal forcé : première approche. On considère un condensateur plan constitué de deux armatures planes de forme circulaire, daxeOz et de rayonR,distantes dee(figure 1. a). Lespace interarmatures est vide et la charge totale stockée sur larmature supérieure du condensateur est donnée par : Q(t)=Q0exp(i t en notation complexe () ,Q0réel positif ). On suppose queR>>e, de sorte que lon négligera tout effet de bord . Vu la géométrie du problème, on travaille en coordonnées cylindriques(r, ,z)daxeOz.
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition d2e physique (épreuve A) 2008.doc
Page 2 sur 15
On sintéresse ici à un régime non stationnaire de fonctionnement, en loccurrence un régime sinusoïdal forcé de pulsation . On se propose ici de déterminer le champ électromagnétique r r [E,B] dansdune équation dans laquelle le couplage le condensateur par résolution directe r r entre le champ électriqueEet le champ magnétiqueBa disparu. 1. a.et invariances du problème, déterminer la forme a prioriPar une analyse des symétries r r du champ électromagnétique [E,B] entre les armatures. E Evaluer lordre de grandeur du rapportEzren supposant momentanément et en première r r approximation querot E=0 . Le fait de « négliger les effets de bords » signifie ici queEErz<<1, ce quon supposera dorénavant. b.Justifier quil est légitime, compte tenu des hypothèses faites, de chercher le champ trom nétique [Er,Br la forme :] sousErr=E(r,t)uz. élec agB=B(r t)uθ , 2. des équations de Maxwell que la fonctionMontrer à partir E(r,t)vérifie entre les
3. 
4. 
5. 
armatures léquation :2Er2+r1Erc122Et2=0 . On cherche des solutions complexes de la forme :E r,t)=E0e r)exp(i t) la est, où pulsation des oscillations ete(0)=1. Etablir lexpression du champ du champ magnétique complexeB(r,t) en fonction dee(r) en utilisant léquation de Maxwell appropriée.
On définit la variable réelleu=. Etablir léquation différentielle à laquelle obéite(u), c qu’on ne cherchera pas à résoudre. La solution de cette équation sécrit : 2 = e(u)k=((k1!))2k2uk.0 On désire maintenant trouver le développement perturbatif du champ électromagnétique r r [E,B lintérieur du condensateur. Alors que précédemment, nous sommes partis dune] à r r équation aux dérivées partielles éliminant le couplage entreE etB, nous cherchons ici une solution faisant apparaître ce couplage comme le cur du problème. Bien r r évidemment, la forme du champ électromagnétique [E,B] est la même que précédemment (voir B.I.1b), puisque les hypothèses sont les mêmes. En particulier, les effets de bord sont négligés. Pour plus de commodité nous travaillons, comme ci-dessus, en notation complexe. Lidée fondamentale du traitement est la suivante : à lordre le plus bas le champ électrique entre les armatures est approximativement uniforme (comme en électrostatique) soit en notation complexe :E0=E0exp(iωt)uz, oùE0est réel. Mais ce r champE0=E0exp(iωt)urz ; au cours du temps varie par conséquent, il crée un champ magnétique :B1=B1(r,t)urθ. Ce champB1=B1(r,t)urθ à son tour un champ engendre
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition d3e physique (épreuve A) 2008.doc
Page 3 sur 15
r r électriqueE2=E2(r,t)urz, qui crée lui-même un champ magnétiqueB3=B3(r,t)urθ qui engendreE4=E4(r,t)uzetc.. . Les termes de rang plus élevé sont des termes correctifs par rapport aux termes de rang plus bas : cette méthode itérative est qualifiée de « perturbative ». r a. première expression approchée du champ électriquePartant de la E0=E0exp(iωt)urz, r calculer le champ magnétiqueB1=B1(r,t)uθ par application de léquation de Maxwell-Ampère. b. La présence du champ magnétique modifie le champ électrique : le champ magnétique r B1=B1(r,t)uθengendre un terme correctifE2=E2(r,t)urzpour le champ électrique. De quel phénomène sagit-il ? A laide de léquation de Maxwell appropriée, calculer ce r terme correctifE2=E2(r,t)urz. On ne retiendra que la solution nulle sur laxe :
pourquoi ? r c. Réitérer ce développement pour aboutir àB3=B3(r,t)urθpuisE4=E4(r,t)uz. d. Montrer alors que lexpression du champ électrique complexeE(r,t) à lordre 4 en 11ωr e par :E(r,t)=E0 4   c2+1    4+... crest donné    64  ωrc   exp(iωt)et en déduire le développement limité de la fonctione(u) à lordre 4. e. Montrer que lexpression du champ magnétique complexeB(r,t) à lordre 3 en 3 = − . crest :B(r,t)iB02ωrc161ωrc+...exp(iωt) f. Etablir les expressions des amplitudes réellesE0etB0en fonction des paramètres du condensateur et les contraintes appliquées. g. Commenter les expressions deE(r,t) etB(r,t aux questions) obtenuesd.ete.en lien
avec le résultat de la question4.II. Solénoïde infini en régime sinusoïdal forcé.  On cherche ici à déterminer le champ électromagnétique[E,B créé par un solénoïde infini parcouru par une intensitéI(t)=I0exp(i t)en notation complexe (0réel positif), comportant nspires jointives par unité de longueur, de section circulaire (figure 1.b). 1. Quentend-on par lexpression « infini solénoïde Justifier quil est légitime, compte » ? tenu des hypothèses faites, de chercher le champ électromagnétique[E,B la sous  E=E(r,t)uθ forme :.   B=B(r,t)uz 2. Trouver léquation à laquelle obéitB(r,t) et montrer quelle est analogue à celle obtenue pourE(r,t)dans le cas du condensateur (B.I.2.) .
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition4de physique (épreuve A) 2008.doc
Page 4 sur 15
3. Déduire sans calcul de la partie I queB r,t) =B0e(u) exp(i t) les expressionsainsi que approchées des champs électromagnétiques complexesB(r,t) etE(r,t) . 4. Etablir lexpression deB0 de etE0en fonction deI0,E0étant lamplitude réelle du champ électrique. III. Considérations énergétiques en régime lentement variable  On fait maintenant lhypothèse dun régime « lentement variable », cest-à-dire que lon
suppose que<<1 dans toutes les expressions calculées ci-dessus. On supposera c négligeables tous les termes dordre supérieur ou égal à 2 dans lexpression des champs. 1. Evaluer en ordre de grandeur le domaine de fréquences correspondant à cette approximation pour les composants utilisés usuellement en montage délectricité ou délectronique.2. Donner lexpression du champ électromaE,B pourà lordre le plus bas en gnétique[c le condensateur dune part, et pour le solénoïde dautre part. Que peut-on dire, en ordre de grandeur, du rapportEpour<<1 dans le condensateur et le solénoïde ? Quel est cB c le sens physique de ce résultat ? 3. deux cas, donner lexpression de la densité volumique instantanéeDans chacun de ces dénergie électromagnétiqueuem(r,t)pourc<<1. Quelle approximation est-il légitime de faire dans lexpression deuem(r,t), selon quil sagit dun condensateur ou à un solénoïde ? En comparant les expressions obtenues au cas de la densité dénergie dune onde électromagnétique dans le vide progressive plane, harmonique de pulsation , lequel des deux systèmes, parmi le condensateur et le solénoïde, qualifieriez-vous de système à dominante électrique ? magnétique ? 4. Calculer le vecteur de PoyntingΠ(r,t) le condensateur et dans le solénoïde, dans
5. 
1. 
2. 
toujours pour<<1. c Effectuer un bilan énergétique global sur la zone despace correspondant à lintérieur du condensateur dune part, du solénoïde dautre part. Commenter. IV. L’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires : premier contact.  
Dans lhypothèse des régimes lentement variables énoncée et étudiée ci-dessus (<<1), c déduire de ce qui précède que léquation de Maxwell-Faraday pour un système « à dominante électrique » sécrit de manière approchée sous la forme :rot E= Que peut-0 . on dire de léquation de Maxwell-Ampère ? De même, pour un système « à dominante magnétique », donner lexpression convenable des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère en régime lentement variable. Commenter. 
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition5de physique (épreuve A) 2008.doc
Page 5 sur 15
3. Peut-on définir sans ambiguïté « lApproximation des Régimes Quasi-Stationnaires » et formuler les équations de Maxwell de manière unique dans le cadre de cette approximation ? V. Potentiels retardés. Définition de l’ARQS.  Nous nous proposons ici de donner la définition générale de lARQS avant denvisager lexistence de deux limites « électrique » et « magnétique » de cette approximation, limites entrevues précédemment. Soit une distribution de charges et de courants[ρ,j de volume finiV. Cette distribution-source crée dans tout lespace un champ électromagnétique[E,B par les équations de régi Maxwell. 1. Pourquoi peut-on définir un potentiel vecteurA et un potentiel scalaireV (formant le couple[V,A) dont dérive le champ électromagnétique[E,B? Donner lexpression de [E,Ben fonction de[V,A. 2. Pourquoi le couple[V,A nest-il ? pas défini de manière unique On utilise alors cette indétermination et on choisit dimposer au couple[V,A la condition de jauge de Lorentz. Donner la relation liantAetVcorrespondant à la jauge de Lorentz. 3. Démontrer, en jauge de Lorentz, les équations de propagation des potentielsV etA. Leur solution dite « des potentiels retardés » sécrit : V(M,t) =4π1ε0VjρP,Pt,tPPPMMcMd3rroù lon évalue les potentiels et est un point , où A(M,t) =4μπ0V∫∫cMPd3rr désigne un point courant de la distribution-source de volume . [
4. 
Soit le temps caractéristique dévolution des sourcesρ,j, et soitL lordre de grandeur caractéristique de la distancePM. On construit alors le nombre sans dimension α=L. Quel est le  ?sens physique et la dimension de la grandeur cτc Par définition, lARQS consiste à supposer<<Est-ce le cas dans un montage1. délectricité ou délectronique usuel ? Dans le cas du transport de courant par ligne à haute tension ? Dans le cas du transport dun signal TV dans un câble dantenne à une fréquence de 500MHz par exemple ? Dans le cas du domaine de loptique visible ?
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition d6e physique (épreuve A) 2008.doc
Page 6 sur 15
5. 
Donner lexpression approximative des potentiels[V,A lARQS. En déduire les dans équations locales « de Poisson » liant les sources[ρ,jaux potentiels[V,A.
VI. Les deux limites de l’ARQS.  Nous venons de définir lARQS par la condition :<<1 avecα=L,L désignant la cτ distance typique entre le point de mesure et la distribution-source, et le temps caractéristique dévolution des sources[ρ,j. Cependant, nous avons constaté sur lexemple du condensateur plan et du solénoïde en régime sinusoïdal que lARQS ne se manifeste pas de la même manière selon que le système est à dominante électrique ou magnétique. Nous allons ici mettre en évidence de manière générale lexistence de deux limites « électrique » et « magnétique » de cette approximation.      Nous noterons dans toute cette partie  ,,E,B,Vetles ordres de grandeur respectifs de ,j,E,B,VetA. Soitd, la distance typique sur laquelle varient les champs[E,Bet les potentiels[V,A. Outre le nombre sans dimension déjà introduit, nous définissons un autre nombre sans dimension :β =j~ . cρ  
1. 
2.  
Montrer que est bien sans dimension. Donner lordre de grandeur deVete  n fonction notamment de  ,,(volume de la distribution-source) etL. En déduire lexpression du rapportcVAen fonction de .
Régime quasi-stationnaire électrique.
Considérons une situation quasi-stationnaire (<<1) où leffet des charges est beaucoup plus important que celui des courants (<<1 ). a. Comparer en ordre de grandeurgrad Vet−∂tA. En déduire lexpression approchée du champ électriqueEainsi que la forme approchée que prend léquation de Maxwell-Faraday sous ces hypothèses. Commenter. b. peut-on dire de léquation de Maxwell-Ampère ?Que c. Evaluer lecBet dire pourquoi cette situation est qualifiée de limite rapportE« électrique ». d. Peut-on simplifier lécriture de la condition de jauge de Lorentz dans cette limite électrique de lARQS ? Si oui comment ?
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition d7e physique (épreuve A) 2008.doc
Page 7 sur 15
3. 
4.  
5. 
e. locale de conservation de la charge dans cette limitePeut-on simplifier léquation électrique de lARQS, et comment ? Commenter.
En supposant seulement que la condition rot B≈ μ0jc12gradVt.
Régime quasi-stationnaire magnétique.
est remplie, montrer que : <<1
Considérons maintenant une situation quasi-stationnaire (<<1) où leffet des charges est beaucoup plus faible que celui des courants (>>1 ). a. Comparer en ordre de grandeur12grad V c  t  etμ0j. En déduire la forme approchée que prend léquation de Maxwell-Ampère sous ces hypothèses. Commenter. b. Que peut-on dire de léquation de Maxwell-Faraday ? Comment sexprime le champ Een fonction des potentiels, sous ces hypothèses ? c. Evaluer le rapportBEet dire pourquoi cette situation est qualifiée de limite c« magnétique ». d. Que peut-on dire de la condition de jauge de Lorentz dans cette limite magnétique de lARQS ? Commenter. e. Que peut-on dire de léquation locale de conservation de la charge dans cette limite magnétique de lARQS ? Commenter.
Laquelle de ces deux limites de lARQS est la plus fréquente expérimentalement et est la plus connue ? Pour quelle raison fondamentale ?
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition8de physique (épreuve A) 2008.doc
Page 8 sur 15
Deuxième Partie Propagation guidée dans un câble coaxial  Lobjet de cette Deuxième Partie est létude théorique et expérimentale des phénomènes de propagation dans un câble coaxial. Celui-ci est constitué de deux cylindres conducteurs coaxiaux de section circulaire, de rayons respectifsa etb (a b) de très grande longueur, séparés par un isolant. Le cylindre central (« lâme ») est plein tandis que le cylindre extérieur (« la gaine ») est creux (figure 2):
Figure 2
isolant
2a
âme
gaine
2b
Les dimensions du câble sont les suivantes :a=0,43 m etb=1, 47 m . Lisolant est un milieu diélectrique non magnétique de permittivité diélectrique relative constanter=2,25 . On travaille en coordonnées cylindriques(r, ,z) daxeOz,Ozétant laxe du câble coaxial. Après un rappel de quelques unes des propriétés de propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (partie A), nous chercherons un modèle électrocinétique simple permettant de rendre compte des phénomènes de propagation observés jusquà des fréquences de lordre de quelques dizaines de MHz (partie B) dans le câble coaxial. Ce modèle est fondé sur une hypothèse particulière relative à la structure du champ électromagnétique[E,B se propageant dans lisolant occupant lespace interconducteurs. Son étude fait lobjet de la partieB.A. Préambule : Propagation d’une onde électromagnétique dans un diélectrique infini  On sintéresse dans cette partieA.au champ électromagnétique à lintérieur dun diélectrique infini. r r r 1. Rappeler les quatre équations de Maxwell reliantE,DetBaux densités de charge r r libreslibet de courant librejlibdans le diélectrique,Détant le vecteur déplacement électrique dans le milieu.
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition9de physique (épreuve A) 2008.doc
Page 9 sur 15
z
2. 
Le milieu diélectrique est supposé parfait, linéaire, homogène et isotrope, de permittivité r diélectrique relativerindépendante de la fréquence. Ecrire la relation reliantEetD. En r r déduire lécriture des quatre équations de Maxwell impliquantEetBuniquement (sans r
faire intervenirD). Que deviennent-elles en absence de charges et de courants libres? r 3. Montrer que des ondes planes de la formeE==BrE0expii((ωttzkzk)) peuvent se propager B0expω − r dans ce type de milieu.k=k urzle vecteur donde dont on déterminera le moduleest k.
Caractériser la structure de ces ondes planes.  B. Mode TEM d’un câble coaxial : étude théorique et expérimentale  On aborde maintenant létude de la propagation le long du câble coaxial. On suppose ici que le champ électromagnétique dans le milieu isolant occupant lespace interconducteurs est de la form eE=E00((r,,z))expexpi(ω(tkz))urB= i zB rωtkz uθ Cela revient à considérer une solution particulière des équations de Maxwell, dite « mode Transverse Electrique et Magnétique » se propageant suivant laxe Oz avec un vecteur donde r k=k urz.   I. Etude du mode TEM dans le cas d’un câble idéal.  On suppose en outre dans les seules parties I, II et III que les conducteurs sont parfaits. 1. En quoi consiste le modèle du conducteur parfait ? Quest-ce que cela implique relativement aux charges et aux courants ? Les fonctionsE0(r,z) etB0(r,z) doivent-elles satisfaire des conditions aux limites particulières en=aet=b? On justifiera la réponse. Justifier que, moyennant lhypothèse des conducteurs parfaits, les deux fonctionsE0(r,z)etB0(r,z)en fait indépendantes de la variablesont z. Le champ électromagnétique complexe dans le milieu isolant entre les deux conducteurs sécrit alors : . E=E0((r)expitkz)ur B=B0r)expitkz)uθ E0(r) etB0(r) sont supposés réels. 2.  modePourquoi cette solution particulière est-elle nommée « Transverse Electrique et Magnétique » ? Donner la relation de structure liant le champ magnétiqueBet le champ électriqueE? Commenter.
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition1d0e physique (épreuve A) 2008.doc
Page 10 sur 15
3. 
En utilisant léquation de Maxwell adéquate, montrer queE0(r) =Eaa, oùEa est r lamplitude du champ électrique en=a. En déduire lexpression deB r.
0( ) 4.  vCalculer la vitesse de phaseφ de cette onde en fonction notamment de la permittivité relative du milieu. Y a-t-il dispersion ? 5. Calculer le vecteur de Poynting et la densité volumique dénergie instantanée dans le diélectrique. En déduire la vitesse de propagation de lénergie. 6. Calculer la puissance moyenne se propageant le long du câble.  II. Grandeurs électrocinétiques caractéristiques du câble idéal dans le mode TEM. On se propose de montrer ici que le câble coaxial idéal utilisé dans son mode TEM peut être modélisé de manière simple en définissant un certain nombre de grandeurs électrocinétiques. 1. En intégrant léquation de Maxwell-Ampère le long dun contour judicieusement choisi, montrer que lâme est parcourue par un courant dintensité complexeI(z,t) lon que exprimera. Calculer lintensité complexe du courant parcourant la gaine. Commenter le résultat obtenu. 2. 
3. 
4. 
5. 
Az ett fixés, on définit la tension (complexe)U(z,t) lâme et la gaine par la entre relation :U(z,t)= −âmeE(r,z,t).dl, où lon fait circuler le champ électrique (complexe) le gaine long dune courbe contenue dans le plan de cotezfixée. Montrer queU(z,t)est indépendante du chemin dintégration choisi et la calculer. Pour autant, peut-on dire que le champ électriqueE dérive dun potentiel scalaireV(r,z,t)? On motivera la réponse. Calculer le rapportZC=U((z,t)). Que remarque-t-on ? Effectuer lapplication numérique. I z,t Comment appelle-t-on cette grandeur ? Pouvez-vous citer dautres exemples en physique ondulatoire où ce type de grandeur apparaît ?
Considérons maintenant une portion de câble comprise entre les coteszetz+dz. On choisitdzsuffisamment petit pour pouvoir considérer que la portion de longueurdzest localement dans lARQS. Peut-on parler ici de limite électrique ou magnétique de lARQS ? On justifiera la réponse.
Calculer lénergie magnétiquedUmagz,t)contenue dans la portion de câble de longueur dz .En déduire une définition et lexpression de linductance propre linéiqueΛdu câble. Application numérique.
Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition1d1e physique (épreuve A) 2008.doc
Page 11 sur 15
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin