ÉLECTROMAGNÉTISME PréambuleCe sujet comporte deux parties indépendantes : -partie porte sur quelques aspects fondamentaux de lélectromagnétisme,La première notamment sur lapproximation des régimes quasi-stationnaires et ses conséquences sur la simplification des équations fondamentales de lélectromagnétisme. -dédiée à létude de la propagation guidée dans un câbleLa deuxième partie est coaxial. Chaque partie comporte de nombreuses questions indépendantes. Le candidat peut utiliser un résultat donné par le texte même sil na pas été démontré. La plus grande importance sera donnée à la qualité de la rédaction et de la présentation. Si au cours de lépreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives quil est amené à prendre.
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Première Partie Quelques aspects fondamentaux de l’électromagnétisme
A.Des équations de Maxwell. I. : classiqueVoici quelques-uns des plus éminents artisans de lélectromagnétisme Coulomb, Ampère, Faraday, Maxwell, Hertz, Lorentz. Rappelerbrièvement des contributions de chacun à la construction de une lélectromagnétisme.II.Enoncer les équations de Maxwell dans le vide en présence de charges et de courants. Pour chacune dentre elles, en donner la forme intégrale. Suffisent-elles à rendre compte de tous les phénomènes électromagnétiques ? Si non, que faut-il leur adjoindre ? B.De l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires Lobjet de cette partie est de dégager précisément ce que recouvre lapproximation des régimes quasi-stationnaires en électromagnétisme (notée dorénavant ARQS). On commence par létude dun exemple simple : la détermination du champ électromagnétique dans un condensateur plan en régime sinusoïdal forcé. z solénoïde z Condensateur
r yruθ Q0uzurrI0 Ox rr uzuθ rurrx ReOFigure 1. a Figure 1. b I.Condensateur plan en régime sinusoïdal forcé : première approche. On considère un condensateur plan constitué de deux armatures planes de forme circulaire, daxeOz et de rayonR,distantes dee(figure 1. a). Lespace interarmatures est vide et la charge totale stockée sur larmature supérieure du condensateur est donnée par : Q(t)=Q0exp(i t en notation complexe () ,Q0réel positif ). On suppose queR>>e, de sorte que lon négligera tout effet de bord . Vu la géométrie du problème, on travaille en coordonnées cylindriques(r, ,z)daxeOz.
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On sintéresse ici à un régime non stationnaire de fonctionnement, en loccurrence un régime sinusoïdal forcé de pulsation . On se propose ici de déterminer le champ électromagnétique r r [E,B] dansdune équation dans laquelle le couplage le condensateur par résolution directe r r entre le champ électriqueEet le champ magnétiqueBa disparu. 1.a.et invariances du problème, déterminer la forme a prioriPar une analyse des symétries r r du champ électromagnétique [E,B] entre les armatures. E Evaluer lordre de grandeur du rapportEzren supposant momentanément et en première r r approximation querot E=0 . Le fait de « négliger les effets de bords » signifie ici queEErz<<1, ce quon supposera dorénavant. b.Justifier quil est légitime, compte tenu des hypothèses faites, de chercher le champ trom nétique [Er,Br la forme :] sous⎨⎪⎧Err=E(r,t)uz. élec ag⎩⎪B=B(r t)uθ , 2.des équations de Maxwell que la fonctionMontrer à partir E(r,t)vérifie entre les
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armatures léquation :∂∂2Er2+r1∂∂Er−c12∂∂2Et2=0 . On cherche des solutions complexes de la forme :E r,t)=E0e r)exp(i t) la est, où pulsation des oscillations ete(0)=1. Etablir lexpression du champ du champ magnétique complexeB(r,t) en fonction dee(r) en utilisant léquation de Maxwell appropriée.
On définit la variable réelleu=. Etablir léquation différentielle à laquelle obéite(u), c qu’on ne cherchera pas à résoudre. La solution de cette équation sécrit : 2 = e(u)k=∑∞(−(k1!))2k⎜⎝⎛2u⎟⎠⎞k.0 On désire maintenant trouver le développement perturbatif du champ électromagnétique r r [E,B lintérieur du condensateur. Alors que précédemment, nous sommes partis dune] à r r équation aux dérivées partielles éliminant le couplage entreE etB, nous cherchons ici une solution faisant apparaître ce couplage comme le cur du problème. Bien r r évidemment, la forme du champ électromagnétique [E,B] est la même que précédemment (voir B.I.1b), puisque les hypothèses sont les mêmes. En particulier, les effets de bord sont négligés. Pour plus de commodité nous travaillons, comme ci-dessus, en notation complexe. Lidée fondamentale du traitement est la suivante : à lordre le plus bas le champ électrique entre les armatures est approximativement uniforme (comme en électrostatique) soit en notation complexe :E0=E0exp(iωt)uz, oùE0est réel. Mais ce r champE0=E0exp(iωt)urz ; au cours du temps varie par conséquent, il crée un champ magnétique :B1=B1(r,t)urθ. Ce champB1=B1(r,t)urθ à son tour un champ engendre
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r r électriqueE2=E2(r,t)urz, qui crée lui-même un champ magnétiqueB3=B3(r,t)urθ qui engendreE4=E4(r,t)uzetc.. . Les termes de rang plus élevé sont des termes correctifs par rapport aux termes de rang plus bas : cette méthode itérative est qualifiée de « perturbative ». r a.première expression approchée du champ électriquePartant de la E0=E0exp(iωt)urz, r calculer le champ magnétiqueB1=B1(r,t)uθ par application de léquation de Maxwell-Ampère. b.La présence du champ magnétique modifie le champ électrique : le champ magnétique r B1=B1(r,t)uθengendre un terme correctifE2=E2(r,t)urzpour le champ électrique. De quel phénomène sagit-il ? A laide de léquation de Maxwell appropriée, calculer ce r terme correctifE2=E2(r,t)urz. On ne retiendra que la solution nulle sur laxe :
pourquoi ? r c.Réitérer ce développement pour aboutir àB3=B3(r,t)urθpuisE4=E4(r,t)uz. d.Montrer alors que lexpression du champ électrique complexeE(r,t) à lordre 4 en 1−1ωr e par :E(r,t)=E04⎜⎛⎝c⎞2+1⎟⎠⎞⎜4+... crest donné⎝⎜⎟⎠64⎝⎛ωrc⎟⎠exp(iωt)et en déduire le développement limité de la fonctione(u) à lordre 4. e.Montrer que lexpression du champ magnétique complexeB(r,t) à lordre 3 en 3 = − . crest :B(r,t)iB0⎝⎜⎜⎛2ωrc161ω⎛⎝⎜rc⎠⎟+⎞...⎠⎟⎟⎞exp(iωt) f.Etablir les expressions des amplitudes réellesE0etB0en fonction des paramètres du condensateur et les contraintes appliquées. g.Commenter les expressions deE(r,t) etB(r,t aux questions) obtenuesd.ete.en lien
avec le résultat de la question4.II.Solénoïde infini en régime sinusoïdal forcé. On cherche ici à déterminer le champ électromagnétique[E,B créé par un solénoïde infini parcouru par une intensitéI(t)=I0exp(i t)en notation complexe (0réel positif), comportant nspires jointives par unité de longueur, de section circulaire (figure 1.b). 1.Quentend-on par lexpression « infini solénoïde Justifier quil est légitime, compte » ? tenu des hypothèses faites, de chercher le champ électromagnétique[E,B la sous E=E(r,t)uθ forme :⎪. ⎪⎩⎨B=B(r,t)uz 2.Trouver léquation à laquelle obéitB(r,t) et montrer quelle est analogue à celle obtenue pourE(r,t)dans le cas du condensateur (B.I.2.) .
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3.Déduire sans calcul de la partie I queB r,t) =B0e(u) exp(i t) les expressionsainsi que approchées des champs électromagnétiques complexesB(r,t) etE(r,t) . 4.Etablir lexpression deB0 de etE0en fonction deI0,E0étant lamplitude réelle du champ électrique. III.Considérations énergétiques en régime lentement variable On fait maintenant lhypothèse dun régime « lentement variable », cest-à-dire que lon
suppose que<<1 dans toutes les expressions calculées ci-dessus. On supposera c négligeables tous les termes dordre supérieur ou égal à 2 dans lexpression des champs. 1.Evaluer en ordre de grandeur le domaine de fréquences correspondant à cette approximation pour les composants utilisés usuellement en montage délectricité ou délectronique.2.Donner lexpression du champ électromaE,B pourà lordre le plus bas en gnétique[c le condensateur dune part, et pour le solénoïde dautre part. Que peut-on dire, en ordre de grandeur, du rapportEpour<<1 dans le condensateur et le solénoïde ? Quel est cB c le sens physique de ce résultat ? 3.deux cas, donner lexpression de la densité volumique instantanéeDans chacun de ces dénergie électromagnétiqueuem(r,t)pourc<<1. Quelle approximation est-il légitime de faire dans lexpression deuem(r,t), selon quil sagit dun condensateur ou à un solénoïde ? En comparant les expressions obtenues au cas de la densité dénergie dune onde électromagnétique dans le vide progressive plane, harmonique de pulsation , lequel des deux systèmes, parmi le condensateur et le solénoïde, qualifieriez-vous de système à dominante électrique ? magnétique ? 4.Calculer le vecteur de PoyntingΠ(r,t) le condensateur et dans le solénoïde, dans
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toujours pour<<1. c Effectuer un bilan énergétique global sur la zone despace correspondant à lintérieur du condensateur dune part, du solénoïde dautre part. Commenter. IV.L’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires : premier contact.
Dans lhypothèse des régimes lentement variables énoncée et étudiée ci-dessus (<<1), c déduire de ce qui précède que léquation de Maxwell-Faraday pour un système « à dominante électrique » sécrit de manière approchée sous la forme :rot E= Que peut-0 . on dire de léquation de Maxwell-Ampère ?De même, pour un système « à dominante magnétique », donner lexpression convenable des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère en régime lentement variable. Commenter.
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3.Peut-on définir sans ambiguïté « lApproximation des Régimes Quasi-Stationnaires » et formuler les équations de Maxwell de manière unique dans le cadre de cette approximation ?V.Potentiels retardés. Définition de l’ARQS. Nous nous proposons ici de donner la définition générale de lARQS avant denvisager lexistence de deux limites « électrique » et « magnétique » de cette approximation, limites entrevues précédemment. Soit une distribution de charges et de courants[ρ,j de volume finiV. Cette distribution-source crée dans tout lespace un champ électromagnétique[E,B par les équations de régi Maxwell. 1.Pourquoi peut-on définir un potentiel vecteurA et un potentiel scalaireV (formant le couple[V,A) dont dérive le champ électromagnétique[E,B? Donner lexpression de [E,Ben fonction de[V,A. 2.Pourquoi le couple[V,A nest-il ? pas défini de manière unique On utilise alors cette indétermination et on choisit dimposer au couple[V,A la condition de jauge de Lorentz. Donner la relation liantAetVcorrespondant à la jauge de Lorentz. 3.Démontrer, en jauge de Lorentz, les équations de propagation des potentielsV etA. Leur solution dite « des potentiels retardés » sécrit : ⎪⎪⎪⎨⎧⎪V(M,t) =4π1ε0∫V∫j∫ρ⎛⎜P⎛⎝⎜,Pt,−tP−PPMMc⎞M⎞⎠⎟d3rroù lon évalue les potentiels et est un point , où ⎟⎠ ⎩⎪⎪A(M,t) =4μπ0∫V∫∫⎝cMPd3rr désigne un point courant de la distribution-source de volume . [
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Soit le temps caractéristique dévolution des sourcesρ,j, et soitL lordre de grandeur caractéristique de la distancePM. On construit alors le nombre sans dimension α=L. Quel est le ?sens physique et la dimension de la grandeur cτc Par définition, lARQS consiste à supposer<<Est-ce le cas dans un montage1. délectricité ou délectronique usuel ? Dans le cas du transport de courant par ligne à haute tension ? Dans le cas du transport dun signal TV dans un câble dantenne à une fréquence de 500MHz par exemple ? Dans le cas du domaine de loptique visible ?
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Donner lexpression approximative des potentiels[V,A lARQS. En déduire les dans équations locales « de Poisson » liant les sources[ρ,jaux potentiels[V,A.
VI.Les deux limites de l’ARQS. Nous venons de définir lARQS par la condition :<<1 avecα=L,L désignant la cτ distance typique entre le point de mesure et la distribution-source, et le temps caractéristique dévolution des sources[ρ,j. Cependant, nous avons constaté sur lexemple du condensateur plan et du solénoïde en régime sinusoïdal que lARQS ne se manifeste pas de la même manière selon que le système est à dominante électrique ou magnétique. Nous allons ici mettre en évidence de manière générale lexistence de deux limites « électrique » et « magnétique » de cette approximation. Nous noterons dans toute cette partie ,,E,B,Vetles ordres de grandeur respectifs de ,j,E,B,VetA. Soitd≤, la distance typique sur laquelle varient les champs[E,Bet les potentiels[V,A. Outre le nombre sans dimension déjàintroduit, nous définissons un autre nombre sans dimension :β =j~ . cρ
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Montrer que est bien sans dimension. Donner lordre de grandeur deVete n fonction notamment de ,,(volume de la distribution-source) etL. En déduire lexpression du rapportcVAen fonction de .
Régime quasi-stationnaire électrique.
Considérons une situation quasi-stationnaire (<<1) où leffet des charges est beaucoup plus important que celui des courants (<<1 ). a.Comparer en ordre de grandeur−grad Vet−∂tA. En déduire lexpression approchée du champ électriqueEainsi que la forme approchée que prend léquation de Maxwell-Faraday sous ces hypothèses. Commenter. b.peut-on dire de léquation de Maxwell-Ampère ?Que c.Evaluer lecBet dire pourquoi cette situation est qualifiée de limite rapport E« électrique ». d.Peut-on simplifier lécriture de la condition de jauge de Lorentz dans cette limite électrique de lARQS ? Si oui comment ?
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e.locale de conservation de la charge dans cette limitePeut-on simplifier léquation électrique de lARQS, et comment ? Commenter.
En supposant seulement que la condition ⎞ rot B≈ μ0j−c12grad⎛⎜⎝∂∂Vt⎠⎟.
Régime quasi-stationnaire magnétique.
est remplie, montrer que : <<1
Considérons maintenant une situation quasi-stationnaire (<<1) où leffet des charges est beaucoup plus faible que celui des courants (>>1 ). a.Comparer en ordre de grandeur−12gradV c∂⎝⎜t⎠⎟etμ0j. En déduire la forme approchée que prend léquation de Maxwell-Ampère sous ces hypothèses. Commenter. b.Que peut-on dire de léquation de Maxwell-Faraday ? Comment sexprime le champ Een fonction des potentiels, sous ces hypothèses ? c.Evaluer le rapportBEet dire pourquoi cette situation est qualifiée de limite c« magnétique ». d.Que peut-on dire de la condition de jauge de Lorentz dans cette limite magnétique de lARQS ? Commenter. e.Que peut-on dire de léquation locale de conservation de la charge dans cette limite magnétique de lARQS ? Commenter.
Laquelle de ces deux limites de lARQS est la plus fréquente expérimentalement et est la plus connue ? Pour quelle raison fondamentale ?
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Deuxième Partie Propagation guidée dans un câble coaxial Lobjet de cette Deuxième Partie est létude théorique et expérimentale des phénomènes de propagation dans un câble coaxial. Celui-ci est constitué de deux cylindres conducteurs coaxiaux de section circulaire, de rayons respectifsa etb (a b) de très grande longueur, séparés par un isolant. Le cylindre central (« lâme ») est plein tandis que le cylindre extérieur (« la gaine ») est creux (figure 2):
Figure 2
isolant
2a
âme
gaine
2b
Les dimensions du câble sont les suivantes :a=0,43 m etb=1, 47 m . Lisolant est un milieu diélectrique non magnétique de permittivité diélectrique relative constanter=2,25 . On travaille en coordonnées cylindriques(r, ,z) daxeOz,Ozétant laxe du câble coaxial. Après un rappel de quelques unes des propriétés de propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (partie A), nous chercherons un modèle électrocinétique simple permettant de rendre compte des phénomènes de propagation observés jusquà des fréquences de lordre de quelques dizaines de MHz (partie B) dans le câble coaxial. Ce modèle est fondé sur une hypothèse particulière relative à la structure du champ électromagnétique[E,B se propageant dans lisolant occupant lespace interconducteurs. Son étude fait lobjet de la partieB.A.Préambule : Propagation d’une onde électromagnétique dans un diélectrique infini On sintéresse dans cette partieA.au champ électromagnétique à lintérieur dun diélectrique infini. r r r 1.Rappeler les quatre équations de Maxwell reliantE,DetBaux densités de charge r r libreslibet de courant librejlibdans le diélectrique,Détant le vecteur déplacement électrique dans le milieu.
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z
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Le milieu diélectrique est supposé parfait, linéaire, homogène et isotrope, de permittivité r diélectrique relativerindépendante de la fréquence. Ecrire la relation reliantEetD. En r r déduire lécriture des quatre équations de Maxwell impliquantEetBuniquement (sans r
faire intervenirD). Que deviennent-elles en absence de charges et de courants libres? r 3.Montrer que des ondes planes de la forme⎧⎪⎨⎪⎩E==BrE0expii((ωtt−zkzk)) peuvent se propager B0expω − r dans ce type de milieu.k=k urzle vecteur donde dont on déterminera le moduleest k.
Caractériser la structure de ces ondes planes. B.Mode TEM d’un câble coaxial : étude théorique et expérimentale On aborde maintenant létude de la propagation le long du câble coaxial. On suppose ici que le champ électromagnétique dans le milieu isolant occupant lespace interconducteurs est de la form e⎧⎨⎪⎪E=E00((r,,z))expexpi(ω(t−kz))ur⎩B= i zB rωt−kz uθ Cela revient à considérer une solution particulière des équations de Maxwell, dite « mode Transverse Electrique et Magnétique » se propageant suivant laxe Oz avec un vecteur donde r k=k urz. I.Etude du mode TEM dans le cas d’un câble idéal. On suppose en outre dans les seules parties I, II et III que les conducteurs sont parfaits. 1.En quoi consiste le modèle du conducteur parfait ? Quest-ce que cela implique relativement aux charges et aux courants ? Les fonctionsE0(r,z) etB0(r,z) doivent-elles satisfaire des conditions aux limites particulières en=aet=b? On justifiera la réponse. Justifier que, moyennant lhypothèse des conducteurs parfaits, les deux fonctionsE0(r,z)etB0(r,z)en fait indépendantes de la variablesont z. Le champ électromagnétique complexe dans le milieu isolant entre les deux conducteurs sécrit alors : . ⎨⎧⎪E=E0((r)expi(ωt−kz)ur ⎪⎩B=B0r)expi(ωt−kz)uθ E0(r) etB0(r) sont supposés réels. 2. modePourquoi cette solution particulière est-elle nommée « Transverse Electrique et Magnétique » ? Donner la relation de structure liant le champ magnétiqueBet le champ électriqueE? Commenter.
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En utilisant léquation de Maxwell adéquate, montrer queE0(r) =Eaa, oùEa est r lamplitude du champ électrique en=a. En déduire lexpression deB r.
0( ) 4. vCalculer la vitesse de phaseφ de cette onde en fonction notamment de la permittivité relative du milieu. Y a-t-il dispersion ? 5.Calculer le vecteur de Poynting et la densité volumique dénergie instantanée dans le diélectrique. En déduire la vitesse de propagation de lénergie. 6.Calculer la puissance moyenne se propageant le long du câble. II. Grandeurs électrocinétiques caractéristiques du câble idéal dans le mode TEM. On se propose de montrer ici que le câble coaxial idéal utilisé dans son mode TEM peut être modélisé de manière simple en définissant un certain nombre de grandeurs électrocinétiques. 1.En intégrant léquation de Maxwell-Ampère le long dun contour judicieusement choisi, montrer que lâme est parcourue par un courant dintensité complexeI(z,t) lon que exprimera. Calculer lintensité complexe du courant parcourant la gaine. Commenter le résultat obtenu. 2.
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Az ett fixés, on définit la tension (complexe)U(z,t) lâme et la gaine par la entre relation :U(z,t)= −â∫meE(r,z,t).dl, où lon fait circuler le champ électrique (complexe) le gaine long dune courbe contenue dans le plan de cotezfixée. Montrer queU(z,t)est indépendante du chemin dintégration choisi et la calculer. Pour autant, peut-on dire que le champ électriqueE dérive dun potentiel scalaireV(r,z,t)? On motivera la réponse. Calculer le rapportZC=U((z,t)). Que remarque-t-on ? Effectuer lapplication numérique. I z,t Comment appelle-t-on cette grandeur ? Pouvez-vous citer dautres exemples en physique ondulatoire où ce type de grandeur apparaît ?
Considérons maintenant une portion de câble comprise entre les coteszetz+dz. On choisitdzsuffisamment petit pour pouvoir considérer que la portion de longueurdzest localement dans lARQS. Peut-on parler ici de limite électrique ou magnétique de lARQS ? On justifiera la réponse.
Calculer lénergie magnétiquedUmagz,t)contenue dans la portion de câble de longueur dz .En déduire une définition et lexpression de linductance propre linéiqueΛdu câble. Application numérique.
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