Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2005 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Rémy Garandel

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 janvier 2008
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

MT 26 EXAMEN FINAL Mardi 17 janvier 2006 2 heures  

Exercice 1 A) Soit la fonction j paire, 2 p -périodique, définie par : " t Î [0, p ], j (t) = 2 - p t . 1) Dessiner la courbe de j . j est-elle continue sur R ? dérivable ? C 1 par morceaux ? 2) Calculer les coefficients de Fourier de j . 3) Préciser pour tout t de [- p , + p ] la somme de la série de Fourier de j .   B) Soit un nombre réel positif ou nul a une suite de nombres réels (a et n ) n ³ 1 . 1) On suppose que la suite (a n ) n ³ 1 est bornée. a) Montrer que la série d’applications å u n définie par u n (t) = a n n 2 co + s( a n 2 - )   ocvnree t gn roamel ment sur R. ¥ b) En déduire que la fonction C définie par  C = å u n est continue sur R. n = 1 c) Montrer que C est paire, 2 p -périodique, et que p z C(t) dt = 0 . 0 2) On suppose que la série å a n converge. a) Montrer que les séries d’applications å u ' n et å u " n  convergent normalement sur R. b) En déduire que C est deux fois dérivable sur R et exprimer C’ et C’’ comme sommes de séries. 3) On suppose que les (a n ) n ³ 1  sont les coefficients de Fourier de la fonction j de la partie A. Montrer que C est alors solution de l’équation différentielle - y" + a 2 y = j et vérifie les conditions initiales y’(0) = y’( p )=0 .  

Exercice 2l(sert eq autionquesr ls suse esnstiéèries sont indépe ndantes)

  1) Développer en série entière les fonctions de C dans C : f (z) = e z e a g(z) = e zch a ch(z sh a ) . ¥ n 2) Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière å z .  nsni n = 0 n! ( q ) f:]0, + ¥ [ ® R 3 fonction ln x  si x ¹ 1 . ) Soit la  xa x - 1 1 si x = 1 En se servant d’une série entière, montrer que f est de classe C ¥  + ]0, sur ¥ [, et calculer f (n) (1) pour tout n de N. 4) Calculer, en se servant du développement en série entière d’une fonction, la somme de la série ne nombres ¥ ( - ) -   n å = 1 (2 - 1 1) n 3 1 n - 1 n