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Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2005 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2005. Retrouvez le corrigé Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2005 sur Bankexam.fr.
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MT 26 EXAMEN FINAL Mardi 17 janvier 2006 2 heures  
Exercice 1 A) Soit la fonctionjpaire, 2p-périodique, définie par :"tÎ[0,p],j(t)=2-pt . 1) Dessiner la courbe dej.jest-elle continue sur R ? dérivable ? C1par morceaux ? 2) Calculer les coefficients de Fourier dej. 3) Préciser pour tout t de [-p, +p] la somme de la série de Fourier dej.  B) Soit un nombre réel positif ou nulaune suite de nombres réels (a et n)n³1. 1) On suppose que la suite (an)n³1est bornée. a) Montrer que la série d’applicationsåundéfinie par un(t)=ann2co+s(an2-)  ocvnreetgn roamel ment sur R. ¥ b) En déduire que la fonction C définie par C=åunest continue sur R. n=1 c) Montrer que C est paire, 2p-périodique, et quepzC(t) dt=0 . 0 2) On suppose que la sérieåanconverge. a) Montrer que les séries d’applicationsåu'netåu"n convergent normalement sur R. b) En déduire que C est deux fois dérivable sur R et exprimer C’ et C’’ comme sommes de séries. 3) On suppose que les (an)n³1 sont les coefficients de Fourier de la fonctionjde la partie A. Montrer que C est alors solution de l’équation différentielle-y"+ a2y= jet vérifie les conditions initiales y’(0) = y’(p)=0 .  
Exercice 2l(sert eq autionquesr ls suse esnstiéèries sont indépe ndantes)
 1) Développer en série entière les fonctions de C dans C : f (z)=ez eag(z)=ezchach(z sha) . ¥n 2) Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entièreåz. nsni n=0n!(q) f:]0,+ ¥[®R 3 fonctionln x si x¹1 . ) Soit la xax-1 1 si x=1 En se servant d’une série entière, montrer que f est de classe C¥ + ]0, sur¥[, et calculer f(n)(1) pour tout n de N. 4) Calculer, en se servant du développement en série entière d’une fonction, la somme de la série ne nombres¥(-)- nå=1(2-11)n31n-1 n