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MT 26Printemps 05 Final Lundi 20 juin 2005 Matériel autorisé: une feuille aidemémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées
I.Première partie(12 points = 4 + 8) 2 2 2 1°) Soitla forme différentielle définie parw =(3x-3yz) dx+(3y-3xz) dy+(3z-3xy) dz 3 a) Montrerquew.est une forme différentielle totale sur R 3 b) Déterminerune fonction f : R®R , telle que df =wet f(0,0,0) =-1. 2 33 c) Onpose z = 1 et on définit g par"(x, y)Îy)R g(x,=x+y-3xy .Déterminer les extremums de g, en précisant pour chacun s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum. n fpériodique de période 2pet" Î]- p,+ p] ()=cos(a) ,ca ÎR . 2°) Soitla fonctioax xx fave+ a) Quelest le développement de Fourier dans le cas oùa ÎN (Ne pas passer plus de deux minutes sur cette question). Dans le reste de cet exercice, on considérera queN, et que vous connaissez vos formules de trigo. b) Déterminerles coefficients de Fourier (réels ou complexes comme vous voulez) de cette fonction f enfonction dea. a c) Écrirele développement de Fourier def .La fonction estelle égale à son développement ? a ¥ ¥ n (-1) 1 d) Calculeren fonction deaS (les sommes :a)=et S (a)=å2 2å2 2 1 2 n- an- a n=1 n=1 ¥ 1 e) Déterminerlim S(a) puisla somme(que vous devriez maintenant connaître par cœur). a ®0+å 2 2 n n=1 Voici, cidessous, la courbe représentative de f, dans le cas oùa =sur l’intervalle [12, +12]3 et a