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Utbm mt40Examen final Nb: Onrédigera les exercices sur des feuilles séparées.
Automne 2006
Exercice 1Intégration gaussienne On considère les intégralesI1etI2définies par:   1 1 sin(x) cos(x) I1=dxetI2=dx. 2 2 11x11x 1.1Démontrer queI1etI2existent et peuvent être calculées par méthode gaussienne.Laquelle? 1.2On choisit, pour cette question, d’utiliser une méthode d’intégration gaussienne à trois points. a)Déterminer le support d’intégration{x0, x1, x2}. Quereprésente ce support, géométriquement? b)Valeurs approchées deI1etI2 Fournir une valeur approchéeV1deI1et une valeur approchéeV2deI2. c)Erreur de méthode Montrer que la valeur approchéeV1est exacte. Cette propriété deI1se généraliserait-elle avec un plus grand nombre de points de support? Fournir une majoration de la valeur absolue de l’erreur de méthode commise dans l’évaluation de I2. En déduire un intervalle contenant certainementI2. 1.3Fournir une table qui, en fonction de l’entier naturelnélément de{1, ...,5}, fournit un majorant de|En|, Endésigne l’erreur de méthode commise en intégration gaussienne ànpoints, dans l’évaluation de I2. Nb: Ons’attachera à trouver une relation liant les majorants de|En|et|En+1|, en vue d’une informatisation éventuelle du traitement de cette question.
Exercice 2Equations non linéaires SoitAun réel élément deI= ]1,+[considère l’équation. On(E) :f(x) = 0, oùfest définie par 2 f(x) =xA. L’objet de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la solution positive de(E)par l’intermédiaire d’une équation ”approchée”.
2.1Existence et unicité de solution surI
EtudierfsurIet montrer que(E)admet une solution unique, notéel, dansI. Tracer la courbe représentative(C)defdans un repère du plan.
2.2Equation approchée de(E)
Soitα, βdeux éléments donnés, distincts ou non, deI.
a)Déterminer le polynômep1qui interpolefsur le support{α, β}.
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