UTBM analyse numerique elementaire 2006 gm mt40 genie mecanique et conception semestre 1 final

Utbm mt40 Examenfinal Automne2006Nb: On rédigera les exercices sur des feuilles séparées.Exercice1 Intégration gaussienneOnconsidèrelesintégrales I et I définiespar:1 2 1 1sin(x) cos(x)I = √ dx et I = √ dx.1 22 21−x 1−x−1 −11.1 Démontrerque I et I existentetpeuventêtrecalculéesparméthodegaussienne. Laquelle?1 21.2 Onchoisit,pourcettequestion,d’utiliseruneméthoded’intégrationgaussienneàtroispoints.a) Déterminerlesupportd’intégration {x ,x ,x }. Quereprésentecesupport,géométriquement?0 1 2b) Valeurs approchées de I et I1 2Fournirunevaleurapprochée V de I etunevaleurapprochée V de I .1 1 2 2c) Erreur de méthode• Montrerquelavaleurapprochée V estexacte.1Cettepropriétéde I segénéraliserait-elleavecunplusgrandnombredepointsdesupport?1• Fournirunemajorationdelavaleurabsoluedel’erreurdeméthodecommisedansl’évaluationdeI .2Endéduireunintervallecontenantcertainement I .21.3 Fournirunetablequi,enfonctiondel’entiernaturelnélémentde{1,...,5},fournitunmajorantde|E |,noù E désignel’erreurdeméthodecommiseenintégrationgaussienneà npoints,dansl’évaluationdenI .2Nb: Ons’attacheraàtrouverunerelationliantlesmajorantsde|E |et|E |,envued’uneinformatisationn n+1éventuelledutraitementdecettequestion.Exercice2 Equations non linéairesSoit Aunréelélémentde I = ]1,+∞[. Onconsidèrel’équation (E) : f(x) = 0,où f estdéfiniepar2f(x) =x −A.L’objetdel’exerciceestdedéterminerunevaleurapprochéedelasolutionpositivede(E)parl’intermédiaired’uneéquation”approchée”.2.1 Existence et ...