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UTBM analyse numerique et splines 2006 gi mt44 genie informatique semestre 2 final

4 pages
MT44 Printemps 2006Examen final du 28 juin 2008Durée : deux heure(s)Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre toutrésultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.Exercice 1 (Formules de quadrature et méthode de Gauss).∗Soient n∈N , a et b deux réels deR =R∪{+∞}∪{−∞},telsquea
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MT44
Durée : deux heure(s)
Examen final du 28 juin 2008
Tout document autorisé  Calculatrice autorisée.
Printemps 2006
On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1(Formules de quadrature et méthode de Gauss). SoientnN,aetbdeux réels deR=R∪ {+∞} ∪ {−∞}, tels quea < b,rune fonction continue sur(a, b)etwune fonction positive sur(a, b). On posef=rwet on suppose quefest intégrable sur (a, b). Dans cet exercice, on étudie la formule de quadrature n b r(x)w(x)dxWir(xi),(1) a i=0 (xi)s sontn+1réels deux à deux distincts de(a, b)et(Wi)s sontn+1réels quelconques. 0in0in (1) Justifiersommairement pourquoi la formule de quadrature (1) est d’ordrepN(c’estàdire exacte pour tous les polynômes de degrés inférieur ou égal àp) si et seulement si : n b j j j∈ {0, ..., p}, xw(x)dx=Wix .(2) i a i=0 (2) Pourquoi(2) est équivalent à     1 1...1W0I0 x0x1.... xnW1I1 2 22 x x ....x I 0 1nW2=2,(3)         . . .. . p pp x x ....xnWnIp 0 1 b j j∈ {0, ..., p}, Ij=x w(x)dx?(4) a
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