UTBM analyse numerique et splines 2006 gi mt44 genie informatique semestre 2 final

MT44 Printemps 2006Examen final du 28 juin 2008Durée : deux heure(s)Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre toutrésultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.Exercice 1 (Formules de quadrature et méthode de Gauss).∗Soient n∈N , a et b deux réels deR =R∪{+∞}∪{−∞},telsquea<b, r une fonction continuesur (a,b) et w une fonction positive sur (a,b).Onposef=rw et on suppose que f est intégrable sur(a,b).Dans cet exercice, on étudie la formule de quadraturenbr(x)w(x)dx≈ W r(x ), (1)i iai=0où (x ) ssontn+1réelsdeuxàdeuxdistincts de (a,b)et (W ) ssontn+1réelsquelconques.i i0≤i≤n 0≤i≤n∗(1) Justifier sommairement pourquoi la formule de quadrature (1) est d’ordre p∈N (c’est-à-direexacte pour tous les polynômes de degrés inférieur ou égal à p)sietseulementsi:nbjj∀j∈{0,...,p}, x w(x)dx = W x . (2)iiai=0(2) Pourquoi (2) est équivalent à⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞11... 1 W I0 0⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟x x .... x W I0 1 n 1 1⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 2 2 2⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟x x .... x W I2 = 2 , (3)⎜ 0 1 n⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟. . . . .. . . . .⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠. . . . .p p px x .... x W In n p0 1oùbj∀j∈{0,...,p},I = x w(x)dx ? (4)ja1/42/4(3) Pour toute la suite, on fera l’hypothèse quep=2n+1. (5)De combien d’équations dispose-t-on?(4) Pour toute la suite, on fera l’hypothèse que−xa=0,b =+∞,w (x)=e . (6)(a) Calculer I et I défini par (4).0 1(b) Que devient (3) si n=0et p=1?(c) ...