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MT44
Durée : deux heure(s)
Examen médian du 20 avril 2007
Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.
Printemps 2007
On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1(Interpolation). x Soitfla fonction définie sur[1,1]parf(x) =e.   1 1 (1)Interpolation sur le supportS1=1,, ,1 3 3   1 1 (a) Déterminerla fonction polynômep3,1qui interpolefsur1,, ,1. 3 3 (b) Rappeler l’expression de l’erreur d’interpolatione1(x) =f(x)p3,1(x), pour toutxde [1,1], fournie en cours. (c) Montrerque :     2   e1 2 2 x[1,1]|e1(x)| ≤M1(x) =x1x. 24 3      π π π π (2)Interpolation sur le supportS2= cos,cos 3,cos 5,cos 7 8 8 8 8 (a) Représenter graphiquement les supportsS1etS2. Qu’est-ce qui les différencie dans leur manière de partitionner[1,1]? (b) Sansdéterminer la fonction polynômep3,2qui interpolefsurS2, rappeler l’expression de l’erreur d’interpolatione2(x) =f(x)p3,2(x), pour toutxde[1,1], fournie en cours. (c) Montrerque :    e 2 22 2 x[1,1]|e2(x)| ≤M2(x) =xα xβ, 24    π π αetβsont définis par :α= cosetβ= cos3. 8 8 (3)Comparaison des majorantsM1etM2 (a) Etudierles variations deM1etM2sur[1,1]. 1/4