UTBM analyse numerique et splines 2007 gi mt44 genie informatique semestre 2 partiel

Description

MT44 Printemps 2007Examen médian du 20 avril 2007Durée : deux heure(s)Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’unexercice.Exercice 1 (Interpolation).xSoit f la fonction définie sur [−1,1] par f(x)=e . 1 1(1) Interpolation sur le support S = −1,− , ,113 3 1 1(a) Déterminer la fonction polynôme p qui interpole f sur −1,− , ,1 .3,13 3(b) Rappeler l’expression de l’erreur d’interpolation e (x)=f(x)− p (x), pour tout x de1 3,1[−1,1], fournie en cours.(c) Montrer que : 2 e 12 2∀x∈ [−1,1] |e (x)|≤M (x)= x −1 x − .1 124 3 π π π π(2) Interpolation sur le support S = cos ,cos 3 ,cos 5 ,cos 728 8 8 8(a) Représenter graphiquement les supports S et S . Qu’est-ce qui les différencie dans leur1 2manière de partitionner [−1,1] ?(b) Sans déterminer la fonction polynôme p qui interpole f sur S , rappeler l’expression de3,2 2l’erreur d’interpolation e (x)=f(x)− p (x), pour tout x de [−1,1], fournie en cours.2 3,2(c) Montrer que : e2 2 2 2∀x∈ [−1,1] |e (x)|≤M (x)= x − α x − β ,2 224 π πoù α et β sont définis par : α=cos et β=cos 3 .8 8(3) Comparaison des majorants M et M1 2(a) Etudier les variations de M et M sur [−1,1].1 21/42/4(b) Interprétez les résultats obtenus ; le cours laissait-il attendre ces résultats ?Exercice 2 (Intégration numérique).kSoient k un entier naturel non nul et f de classe C sur ...

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• Publié par: shura
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Extrait

MT44

Durée : deux heure(s)

Examen médian du 20 avril 2007

Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.

Printemps 2007

On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.

Exercice 1(Interpolation). x Soitfla fonction définie sur[−1,1]parf(x) =e.   1 1 (1)Interpolation sur le supportS 1 =−1,−, ,1 3 3   1 1 (a) Déterminerla fonction polynômep 3,1 qui interpolefsur−1,−, ,1. 3 3 (b) Rappeler l’expression de l’erreur d’interpolatione 1 (x) =f(x)−p 3,1 (x), pour toutxde [−1,1], fournie en cours. (c) Montrerque :     2   e1 2 2 ∀x∈[−1,1]|e 1 (x)| ≤M 1 (x) =x−1x−. 24 3      π π π π (2)Interpolation sur le supportS 2 = cos,cos 3,cos 5,cos 7 8 8 8 8 (a) Représenter graphiquement les supportsS 1 etS 2 . Qu’est-ce qui les différencie dans leur manière de partitionner[−1,1]? (b) Sansdéterminer la fonction polynômep 3,2 qui interpolefsurS 2 , rappeler l’expression de l’erreur d’interpolatione 2 (x) =f(x)−p 3,2 (x), pour toutxde[−1,1], fournie en cours. (c) Montrerque :    e 2 22 2 ∀x∈[−1,1]|e 2 (x)| ≤M 2 (x) =x−α x−β, 24    π π oùαetβsont définis par :α= cosetβ= cos3. 8 8 (3)Comparaison des majorantsM 1 etM 2 (a) Etudierles variations deM 1 etM 2 sur[−1,1]. 1/4