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UTBM suites series fonctions de variable complexe 2005 tc

4 pages
MT 26 Médian Printemps 05 Lundi 25 avril 2005 Matériel autorisé: uniquement une feuille aide-mémoire A4 recto, les doigts sont permis pour les calculs. I. Première partie ( 1 + 3 + 3 + 4 points ) 1°) Question préliminaire : Représenter graphiquement les échelles de comparaison des fonctions au voisinage de ¥ ...
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  MT 26 Médian Printemps 05 Lundi 25 avril 2005  
Matériel autorisé: uniquement un-em féemuilolier ea iAd4e recto, les doigts sont permis  pour le
I.Première partie( 1 + 3 + 3 + 4 points )   
1°) Question préliminaire : Représenter graphiquement les échelles de comparaison des fonctions au voisinage de¥, puis au voisinage de 0. Placer les fonctions x , 1,ln x, ex, xa(a >0), x , xl ainsi que leurs inverses.n x ¥ Indiquer sur ces graphiques les domaines de convergence des intégralesz et dxf (x)az dx ,f (x) a o pour les fonctions continues sur [a,¥[ ou sur ]0, a].    2°) Étudier la convergence des intégrales, sans en calculer la somme : I1=YZ01ln(ins1-xx)dxI2=YZ1¥ln(sinx-I)1dxx3=YZ1¥x+x1-dxx   3°) Calculer les intégrales généralisées suivantes (ne pas en vérifier la convergence) : I1=XYZl¥n 3dexxI12=YZ¥2c+xlnx2x2hdx +11   4°) Soit, poura lesréel positif, I intégralesa=ZY¥psina,xdJxa=YZpsinaKxtxeda=ZY¥xsnia x.d x x0x0 a) Étudier, suivanta, la convergence de Ia, puis celle de Ja. En déduire les valeurs deatelles que Ka soit convergente b) Convergence absolue de Ia: Y( n+1)psin Soit la suite (un)nÎN*définie par un=Znpxa  .xdx ·Montrer :"nÎN*,$cnÎnp, (n+1)ptel que un=2cna (, puisbn+12)pag£un£b2npag. n-·Montrer :"nÎN*ZYppsxniaxxd=nkå=11uk, puis queZYp¥xnsia ss seeiré letxdx,nå¥=1unetnå¥=11na sont de même nature (convergentes ou divergentes). c) En déduire les valeurs dea> 0 pour lesquelles Iaest absolument convergente. d) Est-il possible que Kasoit absolument convergente ?
 
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