UTBM suites series fonctions de variable complexe 2005 tc

Description

MT 26 Médian Printemps 05 Lundi 25 avril 2005 Matériel autorisé: uniquement une feuille aide-mémoire A4 recto, les doigts sont permis pour les calculs. I. Première partie ( 1 + 3 + 3 + 4 points ) 1°) Question préliminaire : Représenter graphiquement les échelles de comparaison des fonctions au voisinage de ¥ ...

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• Publié par: shura
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Extrait

 

   MT 26  Médian Printemps 05 Lundi 25 avril 2005  

Matériel autorisé: uniquement un-em féemuilolier ea iAd4e recto, les doigts sont permis  pour le

I. Première partie ( 1 + 3 + 3 + 4 points )   

1°) Question préliminaire : Représenter graphiquement les échelles de comparaison des fonctions au voisinage de ¥ , puis au voisinage de 0. Placer les fonctions x , 1,ln x, e x , x a ( a > 0), x , xl ainsi que leurs inverses.n x ¥ Indiquer sur ces graphiques les domaines de convergence des intégrales z  et dxf (x) a z  dx ,f (x) a o pour les fonctions continues sur [a, ¥ [ ou sur ]0, a].       2°) Étudier la convergence des intégrales, sans en calculer la somme : I 1 = Y Z 0 1 ln( ins 1 - x x) dxI 2 = Y Z 1 ¥ l n ( si nx - I )1 dx x 3 = Y Z 1 ¥ x + x 1 - dx x       3°) Calculer les intégrales généralisées suivantes (ne pas en vérifier la convergence) : I 1 = X Y Z l ¥ n 3 d e x x I 1 2 = Y Z ¥ 2 c + xln x 2 x 2 h dx + 1 1     4°) Soit, pour a  lesréel positif, I intégrales a = Z Y ¥ p sin a , x dJx a = Y Z p sin a K x txed a = Z Y ¥ x sni a  x.d  x x 0 x 0 a) Étudier, suivant a , la convergence de I a , puis celle de J a . En déduire les valeurs de a telles que K a   soit convergente b) Convergence absolue de I a : Y ( n + 1) p sin Soit la suite (u n ) n Î N* définie par u n = Z n p x a   .xd x · Montrer : " n Î N * , $ c n Î n p , (n + 1) p tel que u n = 2 c n a  ( , puis b n + 1 2 ) p a g £ u n £ b 2 n p a g . n - · Montrer : " n Î N * Z Y p p s x ni a x x d = n k å = 1 1 u k , puis queZ Y p ¥ x nsi a  ss seeiré let x dx, n å ¥ = 1 u n et n å ¥ = 1 1 n a   sont de même nature (convergentes ou divergentes). c) En déduire les valeurs de a > 0 pour lesquelles I a est absolument convergente. d) Est-il possible que K a soit absolument convergente ?

 

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