Bac mathematiques 2007 s

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Durée:4heuresBaccalauréatSAmériqueduSudnovembre2006EXERCICE14pointsCommunàtouslescandidats1. Danscettequestion,ondemandeaucandidatd’exposerdescnnaissances.Onsuppose connulerésultatsuivant:x La fonction x →e estl’unique fonctionϕdérivableurRtelle queϕ =ϕ,eϕ(0)=1.Soit a unréeldonné.axa. Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = e est solution del’équation y =ay.b. Soit g unesolutiondel’équation y = a.y.SoithlafonctiondéfiniesurR−axpar h(x)= g(x)e .Montrerque h estunefonctionconstante.c. Endéduirel’ensembledessolutionsdel’équation y =ay.2. Onconsidèrel’équationdifférentielle(E): y =2y+cosx.a. Déterminerdeuxnombresréels a et b telsquelafonction f définiesur0Rpar: f (x)= acosx+bsinx soitunesolution f de(E).0 0b. Résoudrel’équationdifférentielle(E ) : y =2y.0c. Démontrerque f estsolutionde(E)sietseulementsi f − f estsolution0de(E ).0d. Endéduirelessolutionsde(E). πe. Déterminerlasolution k de(E)vérifiant k =0.2EXERCICE25pointsCandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité →− →−LeplanP estrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .Onferaunefigurequel’oncompléteraaveclesdifférentsélémentsintervenantdansl’exercice.1. On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe. O appelle S la réflexion(symétrieaxiale)d’axe(AB). Montrerque l’image M par S d’un point M d’affixe zapouraffixez =−iz+1+i.2. Onnote H l’homothétie decentreAetderapport−2.Donnerl’écriturecom-plexede H.3. Onnote f lacomposée H◦S.a. Montrerque f estunesimilitude ...

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Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2006

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats

4 points

1.Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant : x La fonctionx→e est l’unique fonctionϕdérivable surRtelle queϕ=ϕ, et ϕ(0)=1. Soitaun réel donné. ax a.Montrer que la fonctionfdéfinie surRparf(x)=solution dee est  l’équationy=a y.  b.Soitgune solution de l’équationy=a.y. Soithla fonction définie surR −ax parh(x)=g(x)e .Montrer quehest une fonction constante.  c.En déduire l’ensemble des solutions de l’équationy=a y.  2.On considère l’équation différentielle (E) :y=2y+cosx. a.Déterminer deux nombres réelsaetbtels que la fonctionf 0 définie sur Rpar :f 0 (x)=acosx+bsinxsoit une solutionf 0 de (E).  b.Résoudre l’équation différentielle (E 0 ) :y=2y. c.Démontrer quefest solution de (E) si et seulement sif−f 0 est solution de (E 0 ). d.En déduire les solutions de (E).   π e.Déterminer la solutionkde (E) vérifiantk=0. 2

E XERCICE points2 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité   −→−→ Le planPest rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. 1.On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe i. On appelleSla réflexion (symétrie axiale) d’axe (AB).   Montrer que l’imageMparSd’un pointMd’affixeza pour affixez= −z+ 1+i. 2.On noteHl’homothétie de centre A et de rapport−2. Donner l’é criture com plexe deH. 3.On notefla composéeH◦S. a.Montrer quefest une similitude. b.Déterminer l’écriture complexe def.  4.On appelleMl’image d’un pointMparf. −−−→ −−→  a.Démontrer que l’ensemble des pointsMdu plan tels que AM= −2AM est la droite (AB). −−−→ −−→  b.Démontrer que l’ensemble des pointsMdu plan tels que AM=2AM est la perpendiculaire en A à la droite (AB).