Bac mathematiques 2007 s

Durée:4heuresBaccalauréatSAmériqueduSudnovembre2006EXERCICE14pointsCommunàtouslescandidats1. Danscettequestion,ondemandeaucandidatd’exposerdescnnaissances.Onsuppose connulerésultatsuivant:x La fonction x →e estl’unique fonctionϕdérivableurRtelle queϕ =ϕ,eϕ(0)=1.Soit a unréeldonné.axa. Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = e est solution del’équation y =ay.b. Soit g unesolutiondel’équation y = a.y.SoithlafonctiondéfiniesurR−axpar h(x)= g(x)e .Montrerque h estunefonctionconstante.c. Endéduirel’ensembledessolutionsdel’équation y =ay.2. Onconsidèrel’équationdifférentielle(E): y =2y+cosx.a. Déterminerdeuxnombresréels a et b telsquelafonction f définiesur0Rpar: f (x)= acosx+bsinx soitunesolution f de(E).0 0b. Résoudrel’équationdifférentielle(E ) : y =2y.0c. Démontrerque f estsolutionde(E)sietseulementsi f − f estsolution0de(E ).0d. Endéduirelessolutionsde(E). πe. Déterminerlasolution k de(E)vérifiant k =0.2EXERCICE25pointsCandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité →− →−LeplanP estrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .Onferaunefigurequel’oncompléteraaveclesdifférentsélémentsintervenantdansl’exercice.1. On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe. O appelle S la réflexion(symétrieaxiale)d’axe(AB). Montrerque l’image M par S d’un point M d’affixe zapouraffixez =−iz+1+i.2. Onnote H l’homothétie decentreAetderapport−2.Donnerl’écriturecom-plexede H.3. Onnote f lacomposée H◦S.a. Montrerque f estunesimilitude ...