Baccalaureat 2006 mathematiques specialite scientifique centres etrangers

Description

Durée:4heuresBaccalauréatSCentresétrangersjuin2006EXERCICE1 3pointsCommunàtouslescandidatsPartieA. RestitutionorganiséedeconnaissancesPrérequis:Onrappellelesdeuxrésultatssuivants:i.Si z estunnombrecomplexenonnul,onal’équivalencesuivante: |z|= r z = r(cosθ+isinθ)⇐⇒arg z = θà2πprès r > 0ii.Pourtousnombresréels a et b :cos(a+b) = cosacosb−sinasinbsin(a+b) = sinacosb+sinbcosaSoient z et z deuxnombrescomplexes nonnuls.1 2Démontrerlesrelations: |z z |=|z ||z | etarg(z z )=arg z )+arg(z à2πprès1 2 1 2 1 2 1 2PartieB.Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé-monstration pour la réponse indiquée. Dansle cas d’une proposition fausse, la dé-ationconsisteraàfourniruncontre-exemple. Uneréponsesansdémonstra-tionnerapportepasdepoint.On rappelle que si z est un nombre complexe, zdésigneleconjuguédez et |z|dé-signelemodulede z.1 1 41. Si z=− + i,alors z estunnombreréel.2 22. Si z+z =0,alors z =0.13. Si z+ =0,alors z =iouz=−i.z 4. Si|z|=1etsi|z+z |=1,alors z =0.EXERCICE2 5pointsRéservéauxcandidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialitéOnlanceundététraédriquedontlesquatrefacesportentlesnombres1,2,3et4.Onlitlenombresurlafacecachée.Pour k ∈{1;2;3;4),onnotep la probabilité d’obtenr le nombre k sur lafaceicachée.Ledéestdéséquilibrédetellesortequelesnombres p , p , p et p danscetordre,1 2 3 4formentuneprogressionarithmétique.1. Sachantque p =0,4démontrerque p =0,1, p =0,2et p =0,3.4 1 2 32. ...

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Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Centres étrangers juin 2006

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats

Partie A.Restitution organisée de connaissances Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants : i. Sizest un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :   |z| =r z=r(cosθ+i sinθ) ⇐⇒ argz=θà 2πprèsr>0 ii. Pour tous nombres réelsaetb:  cos(a+b)=cosacosb−sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa Soientz 1 etz 2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :   | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | ( et argz 1 z 2 ) =argz 1 )+arg(z 2 à 2πprès

3 points

Partie B. Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé monstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la dé monstration consistera à fournir un contreexemple. Une réponse sans démonstra tion ne rapporte pas de point. On rappelle que sizest un nombre complexe,zdésigne le conjugué dezet|z|dé signe le module dez. 1 1 4 1.Siz+= −i, alorszest un nombre réel. 2 2 2.Siz+z=0, alorsz=0. 1 3.Siz+ =0, alorsz=i ouz= −i. z   4.Si|z| =1 et si|z+z| =1, alorsz=0.

E XERCICE 25 points Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée. Pourk∈{1 ; 2 ; 3 ; 4), on notep i la probabilité d’obtenr le nombreksur laface cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombresp 1 ,p 2 ,p 3 etp 4 dans cet ordre, forment une progression arithmétique. 1.Sachant quep 4 =démontrer que0, 4p 1 =0, 1,p 2 =et0, 2p 3 =0, 3. 2.On lance le dé trois lois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants. a.Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ? b.Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?