Baccalaureat 2006 mathematiques specialite scientifique centres etrangers

Durée:4heuresBaccalauréatSCentresétrangersjuin2006EXERCICE1 3pointsCommunàtouslescandidatsPartieA. RestitutionorganiséedeconnaissancesPrérequis:Onrappellelesdeuxrésultatssuivants:i.Si z estunnombrecomplexenonnul,onal’équivalencesuivante: |z|= r z = r(cosθ+isinθ)⇐⇒arg z = θà2πprès r > 0ii.Pourtousnombresréels a et b :cos(a+b) = cosacosb−sinasinbsin(a+b) = sinacosb+sinbcosaSoient z et z deuxnombrescomplexes nonnuls.1 2Démontrerlesrelations: |z z |=|z ||z | etarg(z z )=arg z )+arg(z à2πprès1 2 1 2 1 2 1 2PartieB.Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé-monstration pour la réponse indiquée. Dansle cas d’une proposition fausse, la dé-ationconsisteraàfourniruncontre-exemple. Uneréponsesansdémonstra-tionnerapportepasdepoint.On rappelle que si z est un nombre complexe, zdésigneleconjuguédez et |z|dé-signelemodulede z.1 1 41. Si z=− + i,alors z estunnombreréel.2 22. Si z+z =0,alors z =0.13. Si z+ =0,alors z =iouz=−i.z 4. Si|z|=1etsi|z+z |=1,alors z =0.EXERCICE2 5pointsRéservéauxcandidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialitéOnlanceundététraédriquedontlesquatrefacesportentlesnombres1,2,3et4.Onlitlenombresurlafacecachée.Pour k ∈{1;2;3;4),onnotep la probabilité d’obtenr le nombre k sur lafaceicachée.Ledéestdéséquilibrédetellesortequelesnombres p , p , p et p danscetordre,1 2 3 4formentuneprogressionarithmétique.1. Sachantque p =0,4démontrerque p =0,1, p =0,2et p =0,3.4 1 2 32. ...