Baccalauréat C Amiens groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Amiens groupe 4 1 juin 1980 \ EXERCICE 1 5 POINTS Si a et b sont deux entiers, le plus grand diviseur commun de a et de b est noté ∆(a, b). Soit (U ) la suite numérique définie par : u0 = 1, u1 = 1et?n ?N, un+2 = 3un+1?2un . 1. Calculer les termes u2, u3, u4, u5, u6 de la suiteU . 2. Montrer que le suiteU vérifie : pour tout entier naturel n,un+1 = 2un +1. En déduire le plus grand diviseur commun de deux termes consécutifs de cette suiteU . 3. a. Montrer que la suiteU vérifie : pour tout entier naturel n, un = 2n?1. Les nombres 2n?1 et 2n+1?1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ? b. Vérifier que, pour tout couple d'entiers naturels (n, p) un+p =un ( up +1 ) +up . En déduire que, pour tout couple d'entiers naturels (n, p) ?N?N ∆ ( un , up ) =∆ ( un , un+p ) . (1) c. Soit a et b deux entiers naturels non nuls, r est le reste de la division euclidienne de a par b ; déduire de la propriété (1) que ∆(ub , ur )=∆(ua , ub) et que ∆

• projection vectorielle


• repère orthonormé direct


• reste dans la division euclidienne


• ??u de coordonnées


• méthode des divisions succes- sives


• ????om ?


• image f1

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• Langue: Français

Extrait

1 [juin 1980Baccalauréat C Amiens groupe 4\

E X E R C IC E 1 5 P O IN TS Siaetbsont deux entiers, le plus grand diviseur commun deaet debest noté Δ(a,b). Soit (U) la suite numérique définie par :

u 0 =1,u 1 =1 et∀n∈N,u n+2 =3u n+1 −2u n .

1.Calculer les termesu 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 ,u 6 de la suiteU. 2.Montrer que le suiteUvérifie :

pour tout entier natureln,u n+1 =2u n +1. En déduire le plus grand diviseur commun de deux termes consécutifs de cette suiteU. 3. a.Montrer que la suiteUvérifie :

n pour tout entier natureln,u n =2 ?1. n n+1 Les nombres 2−1 et 2−1 sontils premiers entre eux pour tout entier natureln? b.Vérifier que, pour tout couple d’entiers naturels (n,p) ¡ ¢ u n+p =u n u p +1+u p . En déduire que, pour tout couple d’entiers naturels (n,p)∈N×N ¡ ¢¡ ¢ Δu n ,u p =Δu n ,u n+p . (1) c.Soitaetbdeux entiers naturels non nuls,rest le reste de la division euclidienne deaparb; déduire de la propriété (1) que

et que

Δ ( u b ,u r ) =Δ ( u a ,u b )

Δ ( u a ,u b ) =u Δ (a,b). (on pourra utiliser l’algorithme d’Euclide, méthode des divisions succes sives). d.Calculer alorsΔ ( u 1 982 ,u 312 ).

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS ³ ´ −→−→ On considère dans le plan vectoriel V rapporté à une baseı,l’endomorphisme ³ ´ −→ −→−→ g α,β qui à tout vecteurude coordonnées (x;y) dans la baseı,associe le ¡ ¢ −→ ′ ′′ vecteurude coordonnéesx;ydans la même base définies par ( ′ x=αx−2αy ′ y=2βx+βy αetβétant deux réels. 1.

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

1.Déterminer les réelsαetβpour queg α,β soit une projection vectorielle dont on précisera les éléments caractéristiques. 2.Déterminer les réelsαetβpour queg α,β soit une involution que l’on préci sera.

P R O B L È M E 12 P O IN TS On se propose d’étudier des fonctions deCdansC(Cdésigne l’ensemble des nombres complexes) définies par : a z+b 4 f(z)=, (a,b,c,d)∈C, (c,d)6=(0, 0). c z+d ³ ´ −→−→ Dans le plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé direct O,ı,on ′ désigne parMetMles points d’affixeszetf(z) et parFla fonction de P dans P qui ′ au pointMassocie le pointM. Fsera appelée fonction ponctuelle associée àf.

I.Montrer quefest constante si et seulement siad−bc=0.

1.On posea=1,c=0,d=1 et on notef 1 l’application deCdansCobtenue. a.Préciser la nature et les éléments caractéristiques deF 1 . b.Déterminer l’image parF 1 : – d’unedroiteDquelconque de P – d’uncercleCquelconque de P. 2.On poseb=0,c=0,d=1,a6=0 et on notef 2 l’application deCdansCobte nue. a.Préciser la nature et les éléments caractéristiques deF 2 . b.Déterminer l’image parF 2 : – d’unedroiteDquelconque de P – d’uncercleCquelconque de P. ⋆ 3.On posea=d=0,b=c=1 et on notef 3 l’application deCdansCobtenue. a.Montrer queF 3 est une involution de P {O} dans P {O} . Quels sont les points invariants deF 3 ? ³ ´ −→ b.SoitΣla symétrie orthogonale par rapport à la droiteO,ıetK=Σ◦F 3 . ′′ Déterminer l’affixezdeK(M) en fonction de l’affixezdeM. (On sup pose6=0). ′′ En déduire que les pointsMetMappartiennent à une même demi −−→ −−−→ ′′ droite d’origineOet que ° O M ° × ° O M ° =1. c.Déterminer l’image parF 3 : – d’unedroite passant parO, privée de ce point – d’uncercle de centreO – dela droite d’équationx=1. i 4.On considère la fonctionfdeCdansCdéfinie parf(z)=. z−1 a.Soit A le point d’affixe 1. Montrer queFest une bijection de P−{A} sur P−{O}. b.Montrer qu’il existe des valeurs deaetbtelles queFsoit la composée de fonctions ponctuelles définies au 1, 2 et 3. c.En déduire l’image parF: – dela droite d’équationx=1, privée de A

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Le baccalauréat de 1980

– ducercle de centreAet rayon 1 – dela droite d’équationx=2.

II.On considère l’ensembleFdes fonctionsfdéfinies par :

a z+b 4 f(z)=, (a,b,c,d)∈R, telquead−bc6=0. c z+d 1.Montrer queFest aussi l’ensemble des fonctionsfdéfinies par :

A. P. M. E. P.

a z+b 4 f(z)=, (a,b,c,d)∈R, telque | ad−bc | = 1. c z+d ⋆ (On montrera que sik∈R, (a,b,c,b) et (k a,kb,kc,kd) définissent la même fonctionf). µ ¶ a b 4 2.On désigne parA(l’ensemble des matricesa,b,c,d)∈Rtel que c d | ad−bc | = 1. µ ¶ a b Montrer que (A,×) est un groupe et queu:A→Fm fsim=,u(m)= c d f:C→C a z+b z−→7est un homomorphisme surjectif de (A,×) dans (F,◦). c z+d Définir alors la structure de (F,◦). 3.Déterminer tous les éléments deFtels que

2 a=4,b=3, (c,d)∈Z. Les questions I. et II. sont indépendantes.

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