Baccalauréat C Amiens groupe juin
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Amiens groupe 4 1 juin 1980 \ EXERCICE 1 5 POINTS Si a et b sont deux entiers, le plus grand diviseur commun de a et de b est noté ∆(a, b). Soit (U ) la suite numérique définie par : u0 = 1, u1 = 1et?n ?N, un+2 = 3un+1?2un . 1. Calculer les termes u2, u3, u4, u5, u6 de la suiteU . 2. Montrer que le suiteU vérifie : pour tout entier naturel n,un+1 = 2un +1. En déduire le plus grand diviseur commun de deux termes consécutifs de cette suiteU . 3. a. Montrer que la suiteU vérifie : pour tout entier naturel n, un = 2n?1. Les nombres 2n?1 et 2n+1?1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ? b. Vérifier que, pour tout couple d'entiers naturels (n, p) un+p =un ( up +1 ) +up . En déduire que, pour tout couple d'entiers naturels (n, p) ?N?N ∆ ( un , up ) =∆ ( un , un+p ) . (1) c. Soit a et b deux entiers naturels non nuls, r est le reste de la division euclidienne de a par b ; déduire de la propriété (1) que ∆(ub , ur )=∆(ua , ub) et que ∆

  • projection vectorielle

  • repère orthonormé direct

  • reste dans la division euclidienne

  • ??u de coordonnées

  • méthode des divisions succes- sives

  • ????om ?

  • image f1


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Langue Français

Exrait

1 [juin 1980Baccalauréat C Amiens groupe 4\
EX E R C IC E1 5P O IN TS Siaetbsont deux entiers, le plus grand diviseur commun deaet debest noté Δ(a,b). Soit (U) la suite numérique définie par :
u0=1,u1=1 etnN,un+2=3un+12un.
1.Calculer les termesu2,u3,u4,u5,u6de la suiteU. 2.Montrer que le suiteUvérifie :
pour tout entier natureln,un+1=2un+1. En déduire le plus grand diviseur commun de deux termes consécutifs de cette suiteU. 3. a.Montrer que la suiteUvérifie :
n pour tout entier natureln,un=2 ?1. n n+1 Les nombres 21 et 21 sontils premiers entre eux pour tout entier natureln? b.Vérifier que, pour tout couple d’entiers naturels (n,p) ¡ ¢ un+p=unup+1+up. En déduire que, pour tout couple d’entiers naturels (n,p)N×N ¡ ¢¡ ¢ Δun,up=Δun,un+p. (1) c.Soitaetbdeux entiers naturels non nuls,rest le reste de la division euclidienne deaparb; déduire de la propriété (1) que
et que
Δ(ub,ur)=Δ(ua,ub)
Δ(ua,ub)=uΔ(a,b). (on pourra utiliser l’algorithme d’Euclide, méthode des divisions succes sives). d.Calculer alorsΔ(u1 982,u312).
EX E R C IC E2 3P O IN TS ³ ´ On considère dans le plan vectoriel V rapporté à une baseı,l’endomorphisme ³ ´ −→ −→−→ gα,βqui à tout vecteurude coordonnées (x;y) dans la baseı,associe le ¡ ¢ −→ ′ ′vecteurude coordonnéesx;ydans la même base définies par ( x=αx2αy y=2βx+βy αetβétant deux réels. 1.
Le baccalauréat de 1980
A. P. M. E. P.
1.Déterminer les réelsαetβpour quegα,βsoit une projection vectorielle dont on précisera les éléments caractéristiques. 2.Déterminer les réelsαetβpour quegα,βsoit une involution que l’on préci sera.
PR O B L È M E12P O IN TS On se propose d’étudier des fonctions deCdansC(Cdésigne l’ensemble des nombres complexes) définies par : a z+b 4 f(z)=, (a,b,c,d)C, (c,d)6=(0, 0). c z+d ³ ´ Dans le plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé direct O,ı,on désigne parMetMles points d’affixeszetf(z) et parFla fonction de P dans P qui au pointMassocie le pointM. Fsera appelée fonction ponctuelle associée àf.
I.Montrer quefest constante si et seulement siadbc=0.
1.On posea=1,c=0,d=1 et on notef1l’application deCdansCobtenue. a.Préciser la nature et les éléments caractéristiques deF1. b.Déterminer l’image parF1: – d’unedroiteDquelconque de P – d’uncercleCquelconque de P. 2.On poseb=0,c=0,d=1,a6=0 et on notef2l’application deCdansCobte nue. a.Préciser la nature et les éléments caractéristiques deF2. b.Déterminer l’image parF2: – d’unedroiteDquelconque de P – d’uncercleCquelconque de P. 3.On posea=d=0,b=c=1 et on notef3l’application deCdansCobtenue. a.Montrer queF3est une involution de P{O}dans P{O}. Quels sont les points invariants deF3? ³ ´ −→ b.SoitΣla symétrie orthogonale par rapport à la droiteO,ıetK=ΣF3. ′′ Déterminer l’affixezdeK(M) en fonction de l’affixezdeM. (On sup pose6=0). ′′ En déduire que les pointsMetMappartiennent à une même demi −→−−→ ′′ droite d’origineOet que°O M°×°O M°=1. c.Déterminer l’image parF3: – d’unedroite passant parO, privée de ce point – d’uncercle de centreO – dela droite d’équationx=1. i 4.On considère la fonctionfdeCdansCdéfinie parf(z)=. z1 a.Soit A le point d’affixe 1. Montrer queFest une bijection de P{A} sur P{O}. b.Montrer qu’il existe des valeurs deaetbtelles queFsoit la composée de fonctions ponctuelles définies au 1, 2 et 3. c.En déduire l’image parF: – dela droite d’équationx=1, privée de A
Amiens
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juin 1980
Le baccalauréat de 1980
– ducercle de centreAet rayon 1 – dela droite d’équationx=2.
II.On considère l’ensembleFdes fonctionsfdéfinies par :
a z+b 4 f(z)=, (a,b,c,d)R, telqueadbc6=0. c z+d 1.Montrer queFest aussi l’ensemble des fonctionsfdéfinies par :
A. P. M. E. P.
a z+b 4 f(z)=, (a,b,c,d)R, telque|adbc| =1. c z+d (On montrera que sikR, (a,b,c,b) et (k a,kb,kc,kd) définissent la même fonctionf). µ ¶ a b 4 2.On désigne parA(l’ensemble des matricesa,b,c,d)Rtel que c d |adbc| =1. µ ¶ a b Montrer que (A,×) est un groupe et queu:AFm fsim=,u(m)= c d f:CC a z+b z7est un homomorphisme surjectif de (A,×) dans (F,). c z+d Définir alors la structure de (F,). 3.Déterminer tous les éléments deFtels que
2 a=4,b=3, (c,d)Z. Les questions I. et II. sont indépendantes.
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