Baccalauréat C Toulouse juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Toulouse juin 1979 \ EXERCICE 1 3 POINTS Soit un plan affine P, muni d'un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . Dans P, on considère les n points A1, A2, . . . , An dont les affixes dans ce repère sont les racines dans C de l'équation (1) zn = 1 (n ?N, n > 2). On désigne par z1 le nombre complexe z1 = cos 2pi n + i sin 2pi n . 1. Exprimer en fonction de z1 les n racines de l'équation (1). Déterminer l'isobarycentre des points A1, A2, . . . , An . (On rappelle que l'isobarycentre d'un ensemble de points est le barycentre de ces points affectés de coefficients tous égaux). 2. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que ? ? ? ???? MA1 +????MA2 +·· ·+????MAn ? ? ?=n. 3. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que MA21+MA22+·· ·+MA2n = 2n. EXERCICE 2 3 POINTS On considère l'ensemble? des pointsMd'un plan affine euclidien dont les coordon- nées (x ; y) par rapport à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) satisfont à la relation : y4 16 = x 4?2x2+1.

• isobarycentre


• primitive de g?1


• loi de composition interne


• intervalle ouvert


• primitive de id·g ?


• isobarycentre des points a1

Sujets

• Isobarycentre
• Loi de composition interne
• Intervalle (mathématiques)

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1979
• Nombre de lectures: 33

Extrait

[Baccalauréat C Toulouse juin 1979\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS ³ ´ −→−→ Soit un plan affine P, muni d’un repère orthonorméO,u,v. Dans P, on considère lesnpointsA 1 ,A 2 , . . . ,A n dont les affixes dans ce repère sont les racines dansCde l’équation

n (1)z=1 (n∈N,n>2). 2π2π On désigne parz 1 le nombre complexez 1 =cos+i sin. n n

1.Exprimer en fonction dez 1 lesnracines de l’équation (1). Déterminer l’isobarycentre des pointsA 1 ,A 2 , . . . ,A n . (On rappelle que l’isobarycentre d’un ensemble de points est le barycentre de ces points affectés de coefficients tous égaux). 2.Déterminer l’ensemble des pointsMde P tels que

−−−→ −−−→−−−→ ° MA 1 +MA 2 + ∙ ∙ ∙ +MA n ° =n.

3.Déterminer l’ensemble des pointsMde P tels que

2 22 MA+MA+ ∙ ∙ ∙ +MA=2n. 1 2 n

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS On considère l’ensembleΓdes points M d’un plan affine euclidien dont les coordon ³ ´ −→−→ nées (x ; y) par rapport à un repère orthonorméO,u,vsatisfont à la relation : 4 y 4 2 =x−2x+1. 16 Démontrer queΓest la réunion de deux coniques. On dessinera ces deux coniques après avoir déterminé leurs axes, leurs sommets, leurs foyers et les asymptotes éventuelles.

P R O B L È M E 14 P O IN TS Soit la fonction numériquefde la variable réellexdéfinie par : 1 1+x f(x)=log . 2 1−x Partie A 1.Démontrer que l’ensemble de définition defest l’intervalle D = ]−1 ;+1[. Démontrer quefest une fonction continue sur D. Démontrer quefest une fonction impaire. 2.Étudier les variations def. Démontrer quefest une bijection de D surR. −1−1 On désigne parfla fonction réciproque def. Exprimerf(x) pourx∈ R. Pour cela, on résoudra l’équation d’inconnuey,x=f(y),xétant un réel donné.

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

′ −1 3.Soit respectivementCetCles courbes représentatives defetfpar rapport ³ ´ −→−→ à un même repère orthonorméO,ı,. Écrire une équation de la tangente à la courbeCau point d’abscissex=0. Étudier la position deCpar rapport à cette tangente : on pourra étudier les variations de la fonctionϕ:x−→7f(x)−x(x∈D). ′ Tracer les courbesCetCdans le plan rapporté à un repère orthonormé. (On prendra comme unité de longueur : 4 cm).

Partie B 1.Démontrer que, quels que soient les réelsxetyappartenant à D, on a x+y <1. ¯ ¯ 1+x y Ceci permet de définir dans D une loi de composition interne, notée⋆, telle que : x+y 2 ∀(x;y)∈D ,x⋆y=. 1+x y 2 Démontrer que∀(x;y)∈D ,f(x⋆y)=f(x)+f(y). Quelle est la structure de (D,⋆) ? 2.Soitaun réel quelconque de D. On pose (1) (2)(n+1) (n) a=a,a=a⋆aet pour toutn, entier naturel non nula=a⋆a. £ ¤ ⋆(n) Démontrer par récurrence que :∀n∈N,f a=n f(a). En déduire la relation : µ ¶ (n) n 1+a 1+a ⋆ ∀n∈N,=(1) (n) 1−a 1−a (n)⋆ Démontrer que la suite terme générala, (n∈N) a une limite quandntend vers+∞, et étudier sa limite suivant les valeurs dea(On pourra utiliser la relation (1)). Partie C 1.Soitgune fonction numérique de variable réelle, continue, dérivable, stric ′ tement monotone sur un intervalle ouvert J. On désigne pargsa fonction −1 dérivée sur J et pargla fonction réciproque deg. Soit Id la fonction définie par :∀x∈J, Id(x)=x. −1 Pourquoi la fonctiongadmetelle des primitives surg( J) ? −1′ SoitΓune primitive deg. Démontrer queΓ◦gest une primitive de Id∙g. En déduire que : Z Z g(y)y 2−1′ ∀(x;y)∈Jg(t) dt=t∙g(t) dt. g(x)x 2.fétant la fonction étudiée dans la partie A etxun nombre quelconque de D, calculer Z x ′ t∙f(t) dt. 0 y−y R e+e x −1 Démontrer que :∀y∈R,f(t) dt=log . 0 2 re On pourra utiliser la 1question de la partie C.

Toulouse

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Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

3.SoitAle domaine plan, ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient les conditions

−1 0 6 x 6 1 et 0 6 y 6 1 etf(x) 6 y 6 f(x). SoitBle domaine plan, ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient les conditions :

−1 ¯ ¯ −1 6 x 6 1 et−1 6 y 6 1 etf(x) 6 |y| 6 |f(x)|. a.Utiliser le dessin de A 3. pour hâchurer les domainesAetBainsi définis. Z 1 −1 b.Calculerfdt. 0 2 c.En déduire, en cm, l’aire du domaineAet l’aire du domaineB.

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