Baccalauréat C Toulouse juin
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Toulouse juin 1979 \ EXERCICE 1 3 POINTS Soit un plan affine P, muni d'un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . Dans P, on considère les n points A1, A2, . . . , An dont les affixes dans ce repère sont les racines dans C de l'équation (1) zn = 1 (n ?N, n > 2). On désigne par z1 le nombre complexe z1 = cos 2pi n + i sin 2pi n . 1. Exprimer en fonction de z1 les n racines de l'équation (1). Déterminer l'isobarycentre des points A1, A2, . . . , An . (On rappelle que l'isobarycentre d'un ensemble de points est le barycentre de ces points affectés de coefficients tous égaux). 2. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que ? ? ? ???? MA1 +????MA2 +·· ·+????MAn ? ? ?=n. 3. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que MA21+MA22+·· ·+MA2n = 2n. EXERCICE 2 3 POINTS On considère l'ensemble? des pointsMd'un plan affine euclidien dont les coordon- nées (x ; y) par rapport à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) satisfont à la relation : y4 16 = x 4?2x2+1.

  • isobarycentre

  • primitive de g?1

  • loi de composition interne

  • intervalle ouvert

  • primitive de id·g ?

  • isobarycentre des points a1


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Publié le 01 juin 1979
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Exrait

[Baccalauréat C Toulouse juin 1979\
EX E R C IC E1 3P O IN TS ³ ´ Soit un plan affine P, muni d’un repère orthonorméO,u,v. Dans P, on considère lesnpointsA1,A2, . . . ,Andont les affixes dans ce repère sont les racines dansCde l’équation
n (1)z=1 (nN,n>2). 2π2π On désigne parz1le nombre complexez1=cos+i sin. n n
1.Exprimer en fonction dez1lesnracines de l’équation (1). Déterminer l’isobarycentre des pointsA1,A2, . . . ,An. (On rappelle que l’isobarycentre d’un ensemble de points est le barycentre de ces points affectés de coefficients tous égaux). 2.Déterminer l’ensemble des pointsMde P tels que
−−−→ −−−→−−−→ °MA1+MA2+ ∙ ∙ ∙ +MAn°=n.
3.Déterminer l’ensemble des pointsMde P tels que
2 22 MA+MA+ ∙ ∙ ∙ +MA=2n. 1 2n
EX E R C IC E2 3P O IN TS On considère l’ensembleΓdes points M d’un plan affine euclidien dont les coordon ³ ´ nées (x ; y) par rapport à un repère orthonorméO,u,vsatisfont à la relation : 4 y 4 2 =x2x+1. 16 Démontrer queΓest la réunion de deux coniques. On dessinera ces deux coniques après avoir déterminé leurs axes, leurs sommets, leurs foyers et les asymptotes éventuelles.
PR O B L È M E14P O IN TS Soit la fonction numériquefde la variable réellexdéfinie par : 1 1+x f(x)=log . 2 1x Partie A 1.Démontrer que l’ensemble de définition defest l’intervalle D = ]1 ;+1[. Démontrer quefest une fonction continue sur D. Démontrer quefest une fonction impaire. 2.Étudier les variations def. Démontrer quefest une bijection de D surR. 11 On désigne parfla fonction réciproque def. Exprimerf(x) pourxR. Pour cela, on résoudra l’équation d’inconnuey,x=f(y),xétant un réel donné.
Le baccalauréat de 1979
A. P. M. E. P.
′ −1 3.Soit respectivementCetCles courbes représentatives defetfpar rapport ³ ´ à un même repère orthonorméO,ı,. Écrire une équation de la tangente à la courbeCau point d’abscissex=0. Étudier la position deCpar rapport à cette tangente : on pourra étudier les variations de la fonctionϕ:x7f(x)x(xD). Tracer les courbesCetCdans le plan rapporté à un repère orthonormé. (On prendra comme unité de longueur : 4 cm).
Partie B 1.Démontrer que, quels que soient les réelsxetyappartenant à D, on a x+y <1. ¯ ¯ 1+x y Ceci permet de définir dans D une loi de composition interne, notée, telle que : x+y 2 (x;y)D ,xy=. 1+x y 2 Démontrer que(x;y)D ,f(xy)=f(x)+f(y). Quelle est la structure de (D,) ? 2.Soitaun réel quelconque de D. On pose (1) (2)(n+1) (n) a=a,a=aaet pour toutn, entier naturel non nula=aa. £ ¤ (n) Démontrer par récurrence que :nN,f a=n f(a). En déduire la relation : µ ¶ (n)n 1+a1+a nN,=(1) (n) 1a1a (n)Démontrer que la suite terme générala, (nN) a une limite quandntend vers+∞, et étudier sa limite suivant les valeurs dea(On pourra utiliser la relation (1)). Partie C 1.Soitgune fonction numérique de variable réelle, continue, dérivable, stric tement monotone sur un intervalle ouvert J. On désigne pargsa fonction 1 dérivée sur J et pargla fonction réciproque deg. Soit Id la fonction définie par :xJ, Id(x)=x. 1 Pourquoi la fonctiongadmetelle des primitives surg( J) ? 1SoitΓune primitive deg. Démontrer queΓgest une primitive de Idg. En déduire que : Z Z g(y)y 21(x;y)Jg(t) dt=tg(t) dt. g(x)x 2.fétant la fonction étudiée dans la partie A etxun nombre quelconque de D, calculer Z x tf(t) dt. 0 yy Re+e x 1 Démontrer que :yR,f(t) dt=log . 0 2 re On pourra utiliser la 1question de la partie C.
Toulouse
2
juin 1979
Le baccalauréat de 1979
A. P. M. E. P.
3.SoitAle domaine plan, ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient les conditions
1 06x61 et 06y61 etf(x)6y6f(x). SoitBle domaine plan, ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient les conditions :
1 ¯ ¯ 16x61 et16y61 etf(x)6|y|6|f(x)|. a.Utiliser le dessin de A 3. pour hâchurer les domainesAetBainsi définis. Z 1 1 b.Calculerfdt. 0 2 c.En déduire, en cm, l’aire du domaineAet l’aire du domaineB.
Toulouse
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juin 1979
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